Есть ли физические модели с произведением на дельта-функцию?

[DLL]

Или точнее модели, которые описываются уравнением
$\Delta u + a\left( {\delta \cdot u} \right) = f$ ?

[Munin]

Чтобы поконкретнее, возьму $\Delta u+a(\delta(x-x_0)u)=f.$ Рассмотрим это уравнение в двух областях: вне точки $x_0$ и в этой точке. Получим:
$\left\{\begin{array}{ll}\Delta u=f_{\mathrm{fin}},&\qquad\text{если }x\ne x_0\\au=f_0,&\qquad\text{если }x=x_0,\end{array}\right.$
где я предполагаю, что $f=f_{\mathrm{fin}}+\delta(x-x_0)f_0$ состоит из конечной в каждой точке части, и дельта-подобной в рассматриваемой точке части. $f_0$ может быть равно $0,$ тогда просто второе уравнение имеет справа нуль.

Таким образом, имеем обычное дифференциальное уравнение в области $D\setminus\{x_0\},$ и алгебраическое на функцию $u$ в точке $x_0.$ Таким образом можно выразить многие физические модели с теми или иными граничными условиями, в данном случае граничное условие задано в одной точке.

[Oleg Zubelevich]

разумно было бы начать с вопроса, что такое умножение функции на $\delta$-функцию и что по определению является решением уравнения

DLL в сообщении #629293 писал(а):

$\Delta u + a\left( {\delta \cdot u} \right) = f$ ?

и что такое $\delta$-функция в данной задаче

а то тут даже граничных условий не наблюдается. Участиники диалога , к сожалению, даже не отдают себе отчета в степени его бессмысленности

[type2b]

вообще-то, обычно предполагается, что можно проинтегрировать по маленькому отрезку вблизи $x_0$ и получить

$$u'(x+\epsilon)-u'(x-\epsilon)+a u(x_0)=0$$

или не 0, если $f$ тоже содержит дельта-функцию. Тут предполагается, что $u$ непрерывная, но не гладкая. Это минимальное и естественное условие, чтобы задача имела смысл. Получается свободное уравнение вне $x_0$ и условие сшивки производной в $x_0$. Например, так решается задача о дельта-яме в QM.

[Oleg Zubelevich]

Обычно предполагается совсем другое.
Приведите плз формальную постановку данной задачи.

1) гран условие
2) что такое f
3) определение решения уравнения
4) что такое $\delta$-функция здесь по определению

[DLL]

Математически задача без определения, что есть решение такой задачи, некорректна.
Но меня интересуют именно физические задачи, где возможно такие конструкции появляются формально.
Например, как я понимаю, в уравнении Шредингера могут появляться такие конструкции, если за потенциал принять дельта-функцию. Правда, там задача на собственные значения.

[type2b]

кроме модельной задачи с дельта-потенциалом, уравнения такого типа могут возникать, например, когда решаются уравнения для поля в присутствии какого-нибудь локализованного объекта, типа доменной стенки. На практике, надо переопределить класс функций (задать скачок производной, например), чтобы от дельта-функции избавиться.
Может быть, из кондмата еще вам примеры приведут.

[Munin]

type2b
Спасибо, про скачок производной я забыл.

А про граничные условия я не зря упомянул: можно искать решение граничной задачи как неограниченной с такими дельта-слагаемыми, вводимыми на месте границы. Довольно забавно при этом бывает, скажем, к новой задаче применить преобразование Фурье.

[Taus]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #629483 писал(а):

4) что такое $\delta$-функция здесь по определению

У $\delta$-"функции" есть единственное верное определение.

[DLL]

Цитата:

Может быть, из кондмата еще вам примеры приведут.

Простите за неграмотность, кондмат это что?

[Munin]

Condensed matter - физика конденсированного состояния, расширенный термин, охватывающий в основном понятие физики твёрдого тела, но также физики жидкостей (на микроуровне), холодных газов, сверхтекучесть и сверхпроводимость, и аналогичные упорядоченные, стекольные и жидкостные состояния квазичастиц и подсистем, и т. п.

[DLL]

type2b в сообщении #629479 писал(а):

вообще-то, обычно предполагается, что можно проинтегрировать по маленькому отрезку вблизи $x_0$ и получить

$$u'(x+\epsilon)-u'(x-\epsilon)+a u(x_0)=0$$

или не 0, если $f$ тоже содержит дельта-функцию. Тут предполагается, что $u$ непрерывная, но не гладкая.

Кстати, а как это выражение получается?