Произведение функции конечной гладкости и дельта-функции

[DLL]

Вопрос взялся из этой темы.
Из каких математических или может быть физических соображений для уравнения
$\Delta u + a\left( {\delta \cdot u} \right) = f$
получается условие сшивки
$u'(x+\epsilon)-u'(x-\epsilon)+a u(x_0)=0$

[g______d]

С обозначениями что-то не то; везде должно быть $x_0$.

Если по теме, то правая часть регулярна в точке $x_0$. Значит, и левая часть регулярна. Значит, слагаемое $a u(x_0)\delta(x-x_0)$ должно с чем-то сократиться. Значит, $u''(x_0)=-a u(x_0)\delta(x-x_0)+v(x)$, где $v$ регулярна в точке $x_0$. Значит, у $u'(x)$ есть разрыв в точке $x_0$ на соответствующую величину.

[DLL]

Спасибо. Идея понятна.

[DLL]

Хорошо, а если мы рассматриваем функции двух переменных, например $u = u(x,y)$ и уравнение
$u_{xx} + u_{yy} + a (\delta (x - y) \cdot u) = f$.
Как в этом случае определить условие сшивки?

[g______d]

Перейдите к переменным $\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ и $\frac{x+y}{\sqrt{2}}$. Тогда будет точно такое же условие сшивки по одной из новых переменных (а по другой функция будет гладкой).

Вот если бы там была двумерная $\delta$-функция, то все сложнее; так с ходу я не знаю.

[DLL]

Спасибо. А если так?
$u_{xx} + u_{yy} + a (\delta \cdot u) = f,$
где $\delta$ - дельта-функция в окрестности нуля.

[g______d]

Кажется, что может быть только $a=0$ или $u(0)=0$. Потому что чтобы (обобщенный) оператор Лапласа давал $\delta$-функцию, у исходной функции должна быть особенность вида $\ln(x^2+y^2)$. А такая функция разрывна в нуле, и ее нельзя умножать на $\delta$-функцию.

[DLL]

Все логично. Спасибо.