Почему у фотона только два спиновых состояния?

[Bobinwl]

Как известно спин фотона целый (1) и ему по формуле $2s+1$ должно соответствовать три состояния: $ -1 / 0 / +1$. Но из калибровочной (градиентной) инвариантности уравнений Максвелла ($A'_\mu = A_\mu + \partial_\mu{\psi}$) выводят, что спиновых состояния только два ($-1 / +1$). Отсюда делают вывод, что фотон безмассовая частица, т.е. движется со скоростью света и нет системы отсчета, в которой фотон покоится, поэтому может быть только два направления поляризации: по направлению движения / против направления.
Что не совсем прозрачно (для меня) в приведенном построении:
1. Как из уравнений Максвелла (градиентной инвариантности) следует ограничение на состояния поляризации электромагнитной волны (только влево / вправо и никогда 0)?
2. Почему, если невозможно перейти в систему отсчета частицы (например, релятивистской: фотона), то невозможно зарегистрировать спин равный 0? Даже если спиновое состояние позволяет иметь 0 спин.
3. Почему направление движения (фотона или любой частицы) является определяющим для возможных проекций спина? Что мешает электрону (и далее всем другим частицам: фотону и т.д.), направить момент импульса "вбок" под углом к направлению движения?

[petya]

Из уравнения максвелла следует, что $A_{i} k^{i} = 0$ где i=0,1,2,3

[Physman]

Bobinwl в сообщении #637213 писал(а):

Отсюда делают вывод, что фотон безмассовая частица

Интересная тема. Ещё хотелось бы добавить вопрос, что меняется в описании, когда фотон обретает эффективную массу?

[Bobinwl]

petya в сообщении #637233 писал(а):

Из уравнения максвелла следует, что $A_{i} k^{i} = 0$ где i=0,1,2,3

Хотелось бы получить более профессиональный ответ, например, с разъяснением формулы. А то такие загадочные ответы напоминают дешевое кидание понтами (оно же инфантильный кич) невежы. Прошу вас не забывать, что раздел, где вы размещаете свои ответы, называется "Помогите решить / разобраться", а не "Покажи крутизну".

[Munin]

Рубаков, "Классические калибровочные поля", имхо, самое компактное изложение того, о чём написал petya (вся электродинамика в одном параграфе!):







-- 29.10.2012 17:40:28 --

Добавление: перед этим были записаны определение поля и уравнения Максвелла:

$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu,\eqno(1.2)$$ $$\partial_\mu F_{\mu\nu}=0.\eqno(1.3)$$

[Bobinwl]

Munin в сообщении #637372 писал(а):

Рубаков, "Классические калибровочные поля", имхо, самое компактное изложение того, о чём написал Physman (вся электродинамика в одном параграфе!):

Спасибо. Кстати, не Physman а Petya. Кстати вопросы возникли именно по чтению недавней статьи Рубакова в УФН (от там дает краткое введение в проблему массы частиц в стандартной модели).

-- 29.10.2012, 17:34 --

Все равно не понятно, теперь уже не из за недостатка а избытка формул и опять же неочевидности выводов. Кстати, кроме первого вопроса, по которому, чувствую, придется лезть в википедию (чего не хотелось), осталось еще 2 последних, не отвеченных.

[Munin]

Bobinwl в сообщении #637394 писал(а):

Кстати, не Physman а Petya.

Пардон, конечно же!

Bobinwl в сообщении #637394 писал(а):

Кстати вопросы возникли именно по чтению недавней статьи Рубакова в УФН (от там дает краткое введение в проблему массы частиц в стандартной модели).

Ну вот почитайте эту книжку Рубакова, она хороший background именно по этой теме.

Bobinwl в сообщении #637394 писал(а):

Все равно не понятно, теперь уже не из за недостатка а избытка формул и опять же неочевидности выводов.

Простите, а какой у вас уровень? СТО знаете? Классическую электродинамику? Преобразование Фурье? Легко указать литературу по любому недостающему кирпичику, но если все кирпичики на месте, то выводы тут весьма очевидны...

Bobinwl в сообщении #637394 писал(а):

Кстати, кроме первого вопроса, по которому, чувствую, придется лезть в википедию (чего не хотелось)

Лучше в учебники.

Bobinwl в сообщении #637394 писал(а):

осталось еще 2 последних, не отвеченных.

Они уже отсылают к квантовой теории. Думаю, по ним имеет смысл почитать Фейнмановские лекции по физике том 8-9 (чтобы понять, как одни спиновые состояния раскладываются по другим), и потом Ахиезер, Берестецкий, Квантовая электродинамика, § 1.1, про спиновые состояния в пределе скорости, стремящейся к скорости света. А может, в другой книжке лучше написано...

[Bobinwl]

Думаю, приведенную книгу Рубакова "Классические калибровочные поля" я пока читать не возьмусь. Если я споткнулся на переходе от формулы 1.3 (ур-е Максвелла в тензорном виде тензора электромагнитного поля) к формуле 1.9 (разложение на фурье-образы), то более неочевидные преобразования этой книги поставят меня совсем в тупик.
Очевидно, что уровень у меня не ахти какой, иначе глупые вопросы я бы не задавал. СТО, классическую электродинамику знаю, преобразования Фурье "только в теории (издалека)".
Что хотелось бы: исходя из "классических" уравнений электродинамики (например, исходя из волнового уравнения Даламбера для полей $E, H, A, \varphi$ и допустимых калибровочных преобразований) получить тот же результат, что выводит и Рубаков. Ведь можно же "влет, наглядно" из волнового ур-я для электромагнитного поля в вакууме $\Box {f(x,t)} = 0$ для одномерного случая получить решение для двух плоских волн, движущихся вперед / назад по оси Х - безо всяких Фурье преобразований.
То есть хотелось бы прояснить вывод условия четырехмерной поперечности ($a_i k^i = 0$) и вывода, что из этого должно быть три подходящих вектора.

[espe]

Bobinwl в сообщении #637613 писал(а):

хотелось бы прояснить вывод условия четырехмерной поперечности ($a_i k^i = 0$)

Это условие не выводится из уравнений Максвелла, оно накладывается «руками». Это дополнительное условие называется калибровка Лоренца.

[Munin]

Bobinwl в сообщении #637613 писал(а):

Очевидно, что уровень у меня не ахти какой, иначе глупые вопросы я бы не задавал. СТО, классическую электродинамику знаю, преобразования Фурье "только в теории (издалека)".

Я не хотел заводить речь об "ахти" или "не ахти". Я просто хотел конкретные кирпичики перечислить.

Преобразования Фурье - это мощнейший инструмент анализа, в том числе позволяющий решать многочисленные и разнообразные уравнения математической физики: уравнение теплопроводности, уравнение колебания струны, волновое уравнение, уравнения электростатики, и в конце концов, уравнения Максвелла. Использование преобразований Фурье в физике твёрдого тела позволяет рассматривать различные колебания атомов и электронов как квазичастицы, движущиеся в пустом пространстве, и даёт ключ к пониманию разнообразных явлений. Короче, познакомьтесь с преобразованиями Фурье поближе, они того стоят.

А пока преобразования Фурье для вас "издалека", можно сделать так. Взять уравнение, и подставить в него в качестве решения произвольную плоскую волну. То есть, для потенциала, например, $A_\mu=a_\mu e^{ik_\nu x^\nu}.$ (В Рубакове приняты обычные для сегодняшней физики обозначения, где греческие индексы - пространственно-временные, а латинские - чисто пространственные; по сравнению с Ландау-Лифшицем т. 2 это "наоборот". Метрический тензор в физике употребляют разный, распространены три варианта: $\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1),$ $\operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1),$ $\operatorname{diag}(+1,+1,+1,+1)$ с мнимыми величинами на временн́ой оси.) Тогда все дифференцирования превратятся в умножения на $ik_\mu,$ и после сокращения результата на экспоненту получится как раз то же, что и после преобразования Фурье.

Итак:

$$\begin{array}{cccr} F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu &\qquad\leftrightarrow\qquad& f_{\mu\nu}=ik_\mu a_\nu-ik_\nu a_\mu &\eqno(\text{``1-я'' пара ур. Максвелла})\\ &&&\\ \partial_\mu F_{\mu\nu}=0 &\qquad\leftrightarrow\qquad& k_\mu f_{\mu\nu}=0 &\eqno(\text{2-я пара ур. Максвелла})\\ &&&\\ \partial_\mu\partial_\mu A_\nu-\partial_\mu\partial_\nu A_\mu=0 &\qquad\leftrightarrow\qquad& k_\mu k_\mu a_\nu-k_\mu k_\nu a_\mu=0 &\eqno(\text{полное волновое ур.})\\ &&&\\ A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\mathrm{A} &\qquad\leftrightarrow\qquad& a_\mu\to a_\mu+ik_\mu\alpha &\eqno(\text{общий вид калибровки})\\ &&&\\ \partial_\mu A_\mu=0 &\qquad\leftrightarrow\qquad& k_\mu a_\mu=0 &\eqno(\text{калибровка Лоренца})\\ &&&\\ \partial_\mu\partial_\mu A_\nu=0 &\qquad\leftrightarrow\qquad& k_\mu k_\mu a_\nu=0 &\eqno(\text{ур. Д'Аламбера}) \end{array}$$

-- 30.10.2012 14:41:12 --

После получения $k_\mu k_\mu a_\nu-k_\mu k_\nu a_\mu=0$ самое главное - это разобраться с 4-мерным псевдоевклидовым аналогом условия ортогональности $k_\mu a_\mu=0.$ В евклидовом случае, это условие означало бы $\cos\widehat{ka}=0,$ и задавало бы 3-мерное ортогональное подпространство. В псевдоевклидовом случае, ситуация делится на три случая, в зависимости от того, расположен ли $k_\mu$ пространственноподобно, времениподобно или светоподобно. Пространственноподобный и времениподобный случаи просты: там тоже возникает 3-мерное ортогональное подпространство, в одном варианте времениподобное (имеет 1 времениподобное и 2 пространственноподобных направления), в другом случае пространственноподобное. А светоподобный случай можно получить, взяв пространственноподобный или времениподобный, сделав буст, и устремив скорость буста к скорости света. Тогда 3-мерное подпространство устремится к световому, содержащему сам вектор $k_\mu.$ Пространственноподобные направления этого подпространства будут пространственно перпендикулярны направлению $k_i.$ То же можно получить и чисто алгебраически, но мне кажется, это менее наглядно.

[Bobinwl]

Вот спасибо! Все яснее и яснее. Скажите, а то что вы все индексы, по которым свертка идет внизу пишете это: ошибка / допустимо / только так и пишут?
Насколько я понял ваше разъяснение, основное почему Рубаков использует Фурье образы это именно простота дифференцирования экспоненты? Любую гладкую функцию можно разложить в спектр гармоник. Вы привели пример простой одной синусоидальной волны, но приведенные построения верны и для любой суммы (интеграла) гармоник.

[Munin]

Bobinwl в сообщении #637783 писал(а):

Скажите, а то что вы все индексы, по которым свертка идет внизу пишете это: ошибка / допустимо / только так и пишут?

Это допустимо, если у нас метрическое пространство и ортонормированная система координат. Дальше, я просто следую Рубакову, который сразу при введении обозначений указал, что не будет различать верхних и нижних индексов. Это удобно. Можно, конечно, поднять наверх всё, что сворачивается с нижним, но лень :-) тяжести поднимать :-)

Bobinwl в сообщении #637783 писал(а):

Насколько я понял ваше разъяснение, основное почему Рубаков использует Фурье образы это именно простота дифференцирования экспоненты?

После преобразования Фурье дифференциальное уравнение превращается в алгебраическое, которое решать намного проще. Правда, это действует только с некоторыми дифференциальными уравнениями. Вообще, для разных уравнений математической физики приходится искать свой базис решений, например, для уравнений в цилиндре это функции Бесселя, для уравнений в шаре - сферические функции, и т. п. - существуют наработанные результаты, и зачастую там речь идёт о спецфункциях, но в прямоугольном резонаторе или в бесконечном пространстве можно обойтись синусами-косинусами, а разложение по этому базису есть преобразование или ряд Фурье. И это только для линейных дифференциальных уравнений, а нелинейные решаются ещё сложнее, их пространство решений не раскладывается так просто по базису.

Bobinwl в сообщении #637783 писал(а):

Любую гладкую функцию можно разложить в спектр гармоник. Вы привели пример простой одной синусоидальной волны, но приведенные построения верны и для любой суммы (интеграла) гармоник.

Да, ровно потому, что дифференциальные уравнения линейны (в физике это свойство называется принципом суперпозиции): если $A$ и $B$ - решения, то и $A+B$ - тоже решение.

[type2b]

Если посмотреть чуть с другой стороны, то в квантовой теории можно показать, что продольные и временные поляризации фотонов отщепляются в амплитудах. Т.е. амплитуда процесса, где, например, из начальных частиц рождается нечто и еще продольные/временные фотоны, равна нулю. Поэтому их можно отбросить, как нефизические (т.е. рассматривать гильбертово пространство, из которого они отфакторизованы).
Недоумение про $2s+1$ разъясняется следующим образом. Формула $2s+1$ -- число векторов в представлении $SU(2)$ (или, для простоты, $SO(3)$) спина $s$. Но откуда тут берется $SO(3)$? Пусть есть состояние с одной массивной частицей. Выберем систему отсчета, где она покоится, т.е. импульс ее есть $(m,0,0,0)$. На это состояние можно действовать поворотами, т.е. $SO(3)$, при этом 4-импульс не изменится, а состояние должно преобразовывать по какому-то представлению этой самой группы вращений. Поэтому массивные частицы нумеруются спином -- по представлениям $3d$ группы вращений. Если же частица безмассовая, то нельзя привести импульс к виду $(p_0,0,0,0)$, а можно, например, к $(p_0,0,0,-p_0)$. Этот вектор сохраняется некоторой подгруппой группы Лоренца, но это уже не группа 3д вращений. Поэтому спин безмассовой частицы -- не совсем то же самое, что спин массивной; он нумерует представления некоторой другой группы. А потому и формула не $2s+1$. Вообще, подгруппа группы Лоренца, сохраняющая некоторый стандартный импульс, называется 'малой группой'. За подробностями см. 1й том QFT Вайнберга.

[Bobinwl]

Цитата:

Munin писал:
В псевдоевклидовом случае, ситуация делится на три случая, в зависимости от того, расположен ли $k_\mu$ пространственноподобно, времениподобно или светоподобно.

На самом деле интересует только светоподобный вектор $k_\mu$ (не рассматривать фикции). Вроде дошло, как в этом случае вектор k сам себе ортогонален (в псеводэвклидовом смысле). Т.е. понятно, что для уравнения с четырьмя неизвестными $k_\mu a_\mu=0$ есть три ортогональных 4-ре вектора $a_\mu$ и один из них равен вектору $k_\mu$. Итого осталось два ортогональных друг другу вектора $a_\mu$ ортогональных вектору $k_\mu$(в том числе в трехмерном пространстве). Т.е. очевидно, что векторы $E, H$ должны быть перпендикуляры направлению распространения волны, а два возможных независимых друг от друга состояния $E, H$ перпендикулярны друг другу. Отсюда следует вывод двух возможных состояний поляризации - ура! но это так очевидно, что даже руки опускаются - наверное я не совсем корректно задал первый вопрос (хотя возможно очевидно это стало лишь после детального разбора). Попытаю еще раз счастья:
1. Как левая и правая линейная поляризация электромагнитной волны связаны с двумя возможными спиновыми состояниями фотона $+/- 1$? Т.е. на основании чего делается вывод, что это связанные вещи? Тем более спину соответствует понятие момента импульса, а выведенные два независимых состояния вектора $a_\mu$ не имеют никаких признаков "закрученности".

и возник еще вопросик: почему из решений ур-я по условию калибровки Лоренца $k_\mu a_\mu=0$ выбрасывается решение $a_\mu = k_\mu$? Вот такой вот интересный вектор получили. Ни что что он равен вектору распространения волны?

[Munin]

Bobinwl в сообщении #638188 писал(а):

Вроде дошло, как в этом случае вектор k сам себе ортогонален (в псеводэвклидовом смысле). Т.е. понятно, что для уравнения с четырьмя неизвестными $k_\mu a_\mu=0$ есть три ортогональных 4-ре вектора $a_\mu$ и один из них равен вектору $k_\mu$. Итого осталось два ортогональных друг другу вектора $a_\mu$ ортогональных вектору $k_\mu$(в том числе в трехмерном пространстве).

На самом деле, не совсем. Пусть $k_\mu=(1,1,0,0).$ Тогда можно выбрать ортогональные ему и друг другу векторы в плоскости $x_0=x_1,$ просто не совпадающие по направлению с $k_\mu.$ Например, не только $(0,0,1,0)$ будет подходящим вариантом, но и $(x,x,1,0)$ тоже. Он перпендикулярен исходному $k_\mu$ (в четырёхмерном псевдоевклидовом смысле) и имеет пространственноподобную длину 1. Просто он сам не чисто пространственный, а чисто пространственные вектора мы выбираем только для собственного удобства. Только после этого выбора получается $a_i\perp k_i$ (следите за индексами, они указывают, идёт ли речь о четырёхмерных или о трёхмерных объектах).

Упомянул я об этом потому, чтобы указать, что вектора вида $(0,0,1,0)$ не будут всегда пространственными, а при бустах (не в направлении пространственной оси вектора $k_i$) будут смешиваться с другими векторами вида $(x,x,1,0).$ Это означает, что выбор векторов поляризации не может быть сделан раз и навсегда лоренц-инвариантным способом. Хотя их поперечные составляющие будут всегда нормальны друг другу, но продольные будут свободно "болтаться". С этим можно мириться (и каждый раз отдельно игнорировать продольные составляющие), а можно каждый раз после буста восстанавливать калибровку и приравнивать продольные составляющие к нулю.