Диффуры 2го порядка и Метод Рунге-Кутта

[Extremo]

Имеем уравнение: $y'' - 4x+4 = y'$ ; $x_0=-3$ , $y_0=64$. Вариативно задаю для решения еще $x_k$ и шаг $h$. Решение производится в Visual Basic.
Далее делаю систему из двух уравнений:
1) $t=y'$
2) $t'= 4x+t-4$.
Решил методом Рунге-Кутта второе уравнение. получил таблицу значений(числа). А что собственно делать дальше?
по сути,получил же ведь ряд значений функции $t(х)$, а нужно ответ получить $y(x)$ ведь ? а как?

Производные пишутся просто y'', без ^ //AKM

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Алексей К.]

Extremo в сообщении #637472 писал(а):

Решил методом Рунге-Кутта второе уравнение. получил таблицу значений(числа).

А как Вы могли решить второе уравнение, если у Вас нет $t_0=t(0)=y'(0)$?

[Extremo]

Алексей К. в сообщении #637908 писал(а):

А как Вы могли решить второе уравнение, если у Вас нет ?

Использовал теорию из этого источника http://kurs.ido.tpu.ru/courses/informat_chem_2/modul_5.htm
Пункт 8.2.3.
По этой теории, для решения нужны только начальные параметры, которые я указал в первом посте. Если не прав, поясните

[ewert]

Extremo в сообщении #637472 писал(а):

Решил методом Рунге-Кутта второе уравнение.

Это бессмысленно. Вы должны решать именно систему, применяя векторный вариант метода Рунге-Кутта.

[Extremo]

ewert в сообщении #637945 писал(а):

Это бессмысленно. Вы должны решать именно систему, применяя векторный вариант метода Рунге-Кутта.

Векторный вариант? возможно, у Вас есть какой-нибудь наглядный пример? Или на пальцах объясните пожалуйста как откуда и куда. Я так понимаю, у меня решение вообще неправильное( точнее правильное, но для t(x) )?

[ewert]

Extremo в сообщении #637993 писал(а):

Векторный вариант? возможно, у Вас есть какой-нибудь наглядный пример?

Никаких примеров не нужно.

Вы в курсе, что система дифуров первого порядка формально записывается как одно дифференциальное уравнение первого порядка, но для векторнозначной функции?

Если в курсе, то просто примените к этому векторному уравнению стандартную схему Рунге-Кутта, заменив в ней по мере необходимости все скалярные алгебраические операции на соответствующие векторные.

Если не в курсе, то учите заново собственно теорию дифуров (численные методы -- это уж потом, потом).

И не забудьте вспомнить о просьбе Алексей К. указать-таки полный набор начальных данных.

[Extremo]

ewert в сообщении #638012 писал(а):

И не забудьте вспомнить о просьбе Алексей К. указать-таки полный набор начальных данных.

исходными данными по заданию являются только уравнение и $x_0$ и $y_0$. Других данных нет.

ewert в сообщении #638012 писал(а):

Вы в курсе, что система дифуров первого порядка формально записывается как одно дифференциальное уравнение первого порядка, но для векторнозначной функции?

Возможно, лет пять назад я был в курсе, но сейчас.. :( Понимаю, что со стороны Вам кажется, что я валенок, но как данное уравнение 2го порядка привести к уравнению 1го порядка я, к сожалению, не знаю. Прошу всё-таки донести до меня светлую мысль :(

[ewert]

Extremo в сообщении #638021 писал(а):

Прошу всё-таки донести до меня светлую мысль :(

Система уравнений $\begin{cases}z_1'(s)=f_1(s,z_1(s),z_2(s)) \\ z_2'(s)=f_2(s,z_1(s),z_2(s))\end{cases}$ формально переписывается как векторное уравнение $\vec z'(s)=\vec f(s,\vec z(s))$, где под векторами понимаются столбцы (или строки -- по вкусу) из соответствующих компонент. К последнему и надо применять стандартные формулы метода Рунге-Кутта, как, впрочем, и формулы любых других методов численного решения дифуравнений. Но для этого, естественно, надо знать начальное значение всего $\vec z$ -- т.е. как $z_1(0)$, так и $z_2(0)$.

Дальше постарайтесь согласовать общие обозначения с конкретно Вашими всё-таки самостоятельно.

[Алексей К.]

Extremo в сообщении #637913 писал(а):

Использовал теорию из этого источника ...
По этой теории, для решения нужны только начальные параметры, которые я указал в первом посте. Если не прав, поясните

Я без источников понимаю основное: чтобы численно решить уравнение $t'= 4x+t-4$, Вы должны в правую часть подставить $x_0\;(=0)$, $t_0=t(x)|_{x=0}$ и сосчитать в этой точке производную. Производная позволит сделать шажок вперёд, от $x=x_0$ до $x=x_0+\Delta x$ и $t(x_0+\Delta x)$. Всё. Без значения $t_0$ --- никак. А его-то у Вас нет.

Это самый простой тупой метод. Всякие Рунге-Кутта (не помню деталей) могут только придумать фокусы для улучшения сходимости (наверное, я бы и сам смог, если бы сел и подумал... прикинул бы вторую производную, поправочку ввёл бы, итд.). Но они не изменят основного принципа решения. И не решат нерешаемое.

Возьмите свой источник, и только второе уравнение, и проверьте применительно к нему изложенную там теорию. Учтите при этом, что Ваши буковки $t,x,y,t(x)$ соответствуют $y,x,?,y(x)$ в той теории (от чего путаница и возникла). И нет у Вас начальных условий для этого уравнения. И не могли Вы его решить.

(А в формуле 8.2 опечатка, но она нас не коснётся).

-- 31 окт 2012, 11:32:51 --

Так что надо (a) уточнить условие и (b) решать а ля ewert.

[Extremo]

Спасибо ребята за помощь, только с работы пришел. Сейчас сяду попробую в векторном виде, потом отчитаюсь . Но как ни крути, Вы оба утверждаете, что у меня начальных данных( уравнение 2го порядка, $x_0, y_0$ ) недостаточно для решения этого уравнения? если так, то как такое может быть, должно же оно как-то решаться( решение, по заданию,должно получиться в виде таблицы: x<=>y(x), поэтому я сделал вывод, что $x_k , h$ должен "придумать" сам- изменяемые параметры).

[Алексей К.]

Extremo в сообщении #638247 писал(а):

должно же оно как-то решаться

Оно без всяких начальных данных решается (или должно решаться) в общем виде, и имеет миллион миллионов решений (иными словами, две произвольные постоянные; что-то вроде $y(x)=C_1e^x-2x^2+C_2$, примерно пишу, от фонаря).

Одно начальное условие, $y(-3)=64$, позволяет одну постоянную зафиксировать. Всё равно миллион решений остаётся. Второе условие позволило бы выделить одно единственное решение. Только такую задачу можно численно решать.
(Это всё относится именно к Вашему случаю, ДУ 2-го порядка). Ну как бы основы теории.

Ну, Вы же и теорию какую-то читали, что-то про это должны знать. Курс дифф. уравнений у Вас был, или только численные методы с ДУ?
Сразу должно быть очевидно, что условий недостаточно.

[Extremo]

Вот, уже начинает прояснятся всё: чтобы мне программа, которая как раз должна решить это уравнение и задаю сам $x_k, h$, чтобы вывести на экран только "нужные решения" в диапозоне Х'ов с шагом h.
На счет знания диффуров- было на 1 или 2 курсе университета, численных методов вроде не давали. Практически всё забылось уже.

Алексей К. в сообщении #638267 писал(а):

Только такую задачу можно численно решать.

Или это говорит о том, что всё-равно вариативные $x_k, h$ не помогут получить таблицу значений х-у(х) ?

[Алексей К.]

Расшифровка той скользкой фразы: "Для этого уравнения (2-го порядка) численно можно решать только такую задачку, в которой заданы два условия, $y(x_0)$ и $y'(x_0)$. (А нечисленно можно было бы решать и с одним условием, и вообще без оных)"

-- 31 окт 2012, 18:46:25 --

(Оффтоп)

Extremo в сообщении #638311 писал(а):

Практически всё забылось уже.

А зачем время тогда тратили?

Вчера с одной девочкой параллелограмм разбирали с перпендикулярными диагоналями. Он из-за этих диагоналей из 4-х треугольников состоял. И надо было доказать, что это ромб. Т.е. что треугольники все равны.
"Ой, а у нас не было признаков равенства треугольников". Оказалось, были, но в прошлом году. "Практически всё забылось уже"...