Проверьте, пожалуйста, моё решение (задача о функциях)

[Ktina]

Задача:
Найти (доказав, что других нет) все вещественные $r$, для которых существует непостоянная функция $f:\mathbb R\to \mathbb R$, для которой выполнено $\forall x, y \in\mathbb R: f(r(x+y))=f(x)+f(y)$

Моё решение:
Очевидно, $r=1$ удовлетворяет условию.
Далее, рассмотрим два случая.
Случай 1: $r=0$. В этом случае имеем $\forall x, y\in\mathbb R: f(0)=f(x)+f(y)$.
Отсюда следует, что такая функция обязана быть константой, следовательно, она нам не годится.

Случай 2: $r\ne0\wedge r\ne 1$. В этом случае возьмём пару $(x; -(1-\frac{1}{r})x)$. Тогда получится

$$f(r(x+y))=f(r(x+(-(1-\frac{1}{r})x)))=f(x)=f(x)+f(-(1-\frac{1}{r})x)\to\forall x\in\mathbb R: f(-(1-\frac{1}{r})x)=0$$

, из чего следует, что такая функция также обязана быть константой.

Выходит, что единственным $r\in\mathbb R$, удовлетворяющим условию задачи, является $r=1$.

Ответ: $r=1$.

[TOTAL]

Проверил.

Очевидно,
$f(0)=0$
$f(rt)=f(t)$ (отсюда $r \ne 0$)
$f(-t)=-f(t)$

$f(r(1-r)t)=f(t)-f(rt)=0$ (отсюда только $r =1$)

[Ktina]

TOTAL в сообщении #637369 писал(а):

Проверил.

Очевидно,
$f(0)=0$
$f(rt)=f(t)$ (отсюда $r \ne 0$)
$f(-t)=-f(t)$

$f(r(1-r)t)=f(t)-f(rt)=0$ (отсюда только $r =1$)

Спасибо. Я понимаю, что у меня длиннее. Но тоже ведь верное?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #637371 писал(а):

Но тоже ведь верное?

Верное. (Я не считаю, что решения принципиально различаются.)

[AlexValk]

Да, ваше - тоже верное.

Посмотрите, если не сталкивались, такую задачу:
Найти все $f:\mathbb R\to \mathbb R$, для которой выполнено $\forall x, y \in\mathbb R: f(x+y)=f(x)+f(y)$.
a) если f - непрерывна на $\mathbb R$.
б) если f- непрерывна на некотором интервале $(a;b)$.
в) если f - ограничена на $\mathbb R$.
г) если f- ограничена на некотором интервале $(a;b)$.
д) без каких-либо ограничений.
Последние три задачи связаны с довольно интересной конструкцией в функциональном анализе -

(Оффтоп)

базис Гамеля.

[Ktina]

AlexValk в сообщении #637381 писал(а):

Да, ваше - тоже верное.

Посмотрите, если не сталкивались, такую задачу:
Найти все $f:\mathbb R\to \mathbb R$, для которой выполнено $\forall x, y \in\mathbb R: f(x+y)=f(x)+f(y)$.
a) если f - непрерывна на $\mathbb R$.
б) если f- непрерывна на некотором интервале $(a;b)$.
в) если f - ограничена на $\mathbb R$.
г) если f- ограничена на некотором интервале $(a;b)$.
д) без каких-либо ограничений.
Последние три задачи связаны с довольно интересной конструкцией в функциональном анализе -

(Оффтоп)

базис Гамеля.

Про базис Гамеля, кажется, что-то недавно у нас было...
Ага, вот оно: topic51822.html