Базис Гамеля

[VTV]

Как доказать, что в линейном пространстве любые два базиса Гамеля имеют одинаковую мощность?

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Ерунду убрал

-- Чт дек 01, 2011 21:45:49 --

Элементы одного базиса являются конечными линейными комбинациями другого.

[VTV]

мат-ламер в сообщении #510567 писал(а):

Элементы одного базиса являются конечными линейными комбинациями другого.

Спасибо, но это я знаю. Помогите, пожалуйста, построить инъекцию из одного базиса в другой. Тогда все будет доказано.

[Хорхе]

Честно говоря, тоже не понимаю, что дают эти линейные комбинации. Если базис Гамеля мощнее поля, то отсюда следует равномощность. А вот если нет...

[VTV]

Для счетного базиса я думаю так: пусть $\{f_1,\ldots,f_n,\ldots\}$, $\{e_1,\ldots,e_n,\ldots\}$ - два базиса. Пусть $M=\emptyset$. Возьмем $f_1$ и присоединим к $M$ все элементы базиса $e$, через которые линейно выражается $f_1$. Поставим в соответствие $f_1$ любой элемент из $M$. Дальше возьмем $f_2$, присоединим к $M$ элементы базиса $e$, через которые линейно выражается $f_2$ и поставим в соответствие $f_2$ любой элемент из $M$, который не был образом $f_1$. Продолжая таким образом, построим инъекцию из $f$ в $e$, чем будет доказано, что мощность $f$ не меньше мощности $e$. В силу произвольности выбора базисов, любые два базиса равномощны.

Вопросы: правильное ли мое доказательство? Как доказать для несчетных базисов?

[мат-ламер]

Нашёл доказательство у Верещагина-Шеня на 95 странице. В двух словах не расскажешь, а переписывать доказательство лень.

[Хорхе]

VTV в сообщении #510589 писал(а):

Продолжая таким образом, [...]
Вопросы: правильное ли мое доказательство? Как доказать для несчетных базисов?

Где гарантия, что можно будет продолжать?

Но, вообще, Вы на верном пути. Кстати, мат-ламер дал все же верное указание. Если бы один базис был мощнее другого, то его собственное (менее мощное) подмножество порождало бы пространство, что невозможно.

[VTV]

Цитата:

Где гарантия, что можно будет продолжать?

При рассмотрении $f_k$ и присоединении к $M$ соответствующих элементов, у $M$ окажется не менее $k$ элементов, поскольку иначе у $k$-мерного пространства (оболочки $f_1,\ldots,f_k$) существовал бы базис с менее, чем $k$ элементами.

[Хорхе]

Ага, ну для счетного получается. А вот если пробовать применять трансфинитную индукцию, то уже проблемы.

Попробуйте осмыслить то, что я написал.

[VTV]

мат-ламер в сообщении #510591 писал(а):

Нашёл доказательство у Верещагина-Шеня на 95 странице.

Спасибо. Буду разбираться.