Многочлен, доказательство

[Andrei94]

Помогите, пожалуйста, доказать, что:

$B_n(f,0)=f(0)\;\;\;\;\;\;\;\;B_n(f,1)=f(1)$

Для $B_n(f,x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}f\Big(\frac{k}{n}\Big)C_n^kx^k(1-x)^{n-k}\;\;\;\;\;\;\;0\le x\le 1$

Хочется устремить $n\to \infty$, чтобы получить $f(0)$, а чтобы получить $f(1)$ можно взять $n=k$, но это как-то все глупо, может подскажите - как это сделать честно?

[Henrylee]

Для начала пределы суммирования расставить верно. Там явно $k=\overline{1,n}$. Иначе $C_n^k$ бессмысленно.
Потом вытащить из суммы первый и последний слагаемые.

[apriv]

Henrylee в сообщении #637148 писал(а):

Для начала пределы суммирования расставить верно. Там явно $k=\overline{1,n}$. Иначе $C_n^k$ бессмысленно.

Ну, допустим, $k$ все-таки от $0$ до $n$, а не от $1$; и $C_n^k$ ничуть не бессмысленно при $k>n$, а равно нулю. А с доказательством все просто — подставляем $x=0$, замечаем, что $0^k=0$ при $k>0$, и что $0^0=1$, поэтому в сумме остается одно ненулевое слагаемое; с $x=1$ аналогично.

[Andrei94]

Да, простите, до $n$

Для $B_n(f,x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}f\Big(\frac{k}{n}\Big)C_n^kx^k(1-x)^{n-k}\;\;\;\;\;\;\;0\le x\le 1$

-- 29.10.2012, 01:25 --

apriv в сообщении #637150 писал(а):

Henrylee в сообщении #637148 писал(а):

Для начала пределы суммирования расставить верно. Там явно $k=\overline{1,n}$. Иначе $C_n^k$ бессмысленно.

Ну, допустим, $k$ все-таки от $0$ до $n$, а не от $1$; и $C_n^k$ ничуть не бессмысленно при $k>n$, а равно нулю. А с доказательством все просто — подставляем $x=0$, замечаем, что $0^k=0$ при $k>0$, и что $0^0=1$, поэтому в сумме остается одно ненулевое слагаемое; с $x=1$ аналогично.

Спасибо, то, что $B(f,0)=0$ Понятно. Но вот не понятно -- почему $f(0)=0$?

а) Ведь $B_n(f,0)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}f\Big(\frac{k}{n}\Big)\cdot 0 = 0\;\;\;\;\;\;\;0\le x\le 1$

тогда ведь $f(0)$может быть любым числом, не?

б) Ведь $B_n(f,1)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}f\Big(\frac{k}{n}\Big)\cdot 0 = 0\;\;\;\;\;\;\;0\le x\le 1$

тогда ведь $f(1)$ вообще не понятно что...

[apriv]

Andrei94 в сообщении #637151 писал(а):

Д
а) Ведь $B_n(f,0)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}f\Big(\frac{k}{n}\Big)\cdot 0 = 0\;\;\;\;\;\;\;0\le x\le 1$

Нет, не равно.

[Andrei94]

apriv в сообщении #637152 писал(а):

Andrei94 в сообщении #637151 писал(а):

Д
а) Ведь $B_n(f,0)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}f\Big(\frac{k}{n}\Big)\cdot 0 = 0\;\;\;\;\;\;\;0\le x\le 1$

Нет, не равно.

(тут был бред)

[apriv]

Нет, не вижу никакой неопределенности. Я имею в виду, что Вы неправильно подставили $x=0$ в выражение для $B_n$. Сделайте это еще раз, только внимательно.

[Andrei94]

apriv в сообщении #637155 писал(а):

Нет, не вижу никакой неопределенности. Я имею в виду, что Вы неправильно подставили $x=0$ в выражение для $B_n$. Сделайте это еще раз, только внимательно.

Что-то я не очень внимательно прочитал то, что вы написали. Разве $0^0=1$, я раньше думал, что $0^0$ - неопределенность.

[apriv]

Ничего неопределенного в этом выражении нет, во всяком случае, если бы $0^0$ не равнялось 1, то формула бинома Ньютона была бы неверна.

[Andrei94]

apriv в сообщении #637157 писал(а):

Ничего неопределенного в этом выражении нет, во всяком случае, если бы $0^0$ не равнялось 1, то формула бинома Ньютона была бы неверна.

Спасибо=) Тогда все ясно!

Только все равно $0^0$ кажется странным...

[Henrylee]

apriv в сообщении #637150 писал(а):

Henrylee в сообщении #637148 писал(а):

Для начала пределы суммирования расставить верно. Там явно $k=\overline{1,n}$. Иначе $C_n^k$ бессмысленно.

Ну, допустим, $k$ все-таки от $0$ до $n$, а не от $1$;

Да, конечно, от $0$. Тут я описАлся.

apriv в сообщении #637150 писал(а):

и $C_n^k$ ничуть не бессмысленно при $k>n$, а равно нулю.

Да не имеет значения. Как определить. Хотите, считайте это нулем.

apriv в сообщении #637150 писал(а):

А с доказательством все просто — подставляем $x=0$, замечаем, что $0^k=0$ при $k>0$, и что $0^0=1$, поэтому в сумме остается одно ненулевое слагаемое; с $x=1$ аналогично.

Вот про $0^0$ не надо, никакая это не единица. Не вводите в заблуждение. Это первое, что я хотел Вам сказать. Теперь второе. Выкладывать решения сразу тут не принято, если Вы не в курсе.

-- Пн окт 29, 2012 23:28:54 --

2Andrei94

Я же предлагал вытащить первый и последний слагаемые. Зря не послушали:


Для $B_n(f,x)= f(0)(1-x)^n+ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f\Big(\frac{k}{n}\Big)C_n^kx^k(1-x)^{n-k} +f(1)x^n $

[Andrei94]

Henrylee в сообщении #637531 писал(а):

Я же предлагал вытащить первый и последний слагаемые. Зря не послушали:


Для $B_n(f,x)= f(0)(1-x)^n+ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f\Big(\frac{k}{n}\Big)C_n^kx^k(1-x)^{n-k} +f(1)x^n $

Ох, точно, это я зря не послушал, спасибо!

$B_n(f,0)= f(0)(1-0)^n+ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f\Big(\frac{k}{n}\Big)C_n^k0^k(1-0)^{n-k} +f(1)0^n=f(0) $

$B_n(f,1)= f(0)(1-1)^n+ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f\Big(\frac{k}{n}\Big)C_n^k1^k(1-1)^{n-k} +f(1)1^n=f(1) $

Теперь все до конца понятно....

Может еще подскажите - что это за зверь? $B_n(|t-x|,x)$

Может имеется ввиду, что $B_n(|t-x|,x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\Big|\frac{k}{n}-x\Big|C_n^kx^k(1-x)^{n-k}\;\;\;\;\;\;\;0\le x\le 1$ ?

[Henrylee]

Andrei94 в сообщении #637533 писал(а):

Может еще подскажите - что это за зверь? $B_n(|t-x|,x)$

Может имеется ввиду, что $B_n(|t-x|,x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\Big|\frac{k}{n}-x\Big|C_n^kx^k(1-x)^{n-k}\;\;\;\;\;\;\;0\le x\le 1$ ?

Все зависит от того, что является аргументом функции $f$ в выражении $B_n(f,x)$. Если $f=f(t)$, то Вы правы.

[Andrei94]

Henrylee в сообщении #637540 писал(а):

Все зависит от того, что является аргументом функции $f$ в выражении $B_n(f,x)$. Если $f=f(t)$, то Вы правы.

Спасибо, ясно=)

[apriv]

Henrylee в сообщении #637531 писал(а):

Вот про $0^0$ не надо, никакая это не единица. Не вводите в заблуждение.

Если речь идет об алгебраических выражениях типа $\sum_ka_kx^k$, то $0^0=1$, без этого такие степенные суммы часто теряют смысл. Например, формула бинома Ньютона $(x+y)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^ky^{n-k}$ верна при всех (натуральных, естественно) $n\geq 0$ и при всех $x,y$ (упражнение: при каких $x,y,n$ она остается верной, если запретить себе пользоваться тем фактом, что $0^0=1$?). В комбинаторике — то же самое (у пустого множества есть ровно один эндоморфизм).