Число "А"

[ewert]

venco в сообщении #634289 писал(а):

Пусть в результате есть где-то ...2012..., тогда после умножения на 81 должно получиться ...0000...,

Обязано давать лишь **00** или **99**, но и этого нет.

[TOTAL]

$A-A/10=0.1111.....$

$........2012........$
$..........2012......$
$..........8...........$

Вычитание столбиком дает восьмерку, а должны быть только единицы.

[e2e4]

Эээ... калькулятор при вычислении числа 10/81 дает ответ 0,(123456790). Куда девается 8-ка?

[EtCetera]

e2e4 в сообщении #635108 писал(а):

Куда девается 8-ка?

Она присутствует в десятичной записи некрасивой дроби $\dfrac{137\,174\,210}{1\,111\,111\,111}$.

[TOTAL]

e2e4 в сообщении #635108 писал(а):

Эээ... калькулятор при вычислении числа 10/81 дает ответ 0,(123456790). Куда девается 8-ка?

Есть много чисел, в десятичной записи которых отсутствует 8-ка.

[e2e4]

TOTAL писал(а):

e2e4 писал(а):

Эээ... калькулятор при вычислении числа 10/81 дает ответ 0,(123456790). Куда девается 8-ка?

Есть много чисел, в десятичной записи которых отсутствует 8-ка.

За что я "люблю" этот форум, так за зашкаливающий снобизм ЗУ. В который раз уже получаю подобные ответы.

Собственно, поэтому и стараюсь часто сюда не писать, хотя вот заинтересовался этой конкретной задачей. Если остались здесь нормальные люди, которым не обидно разъяснить человеку без высшего математического образования, почему на вопрос задачи о

DjD USB в сообщении #634138 писал(а):

Пусть число $A=0,1+0,02+0,003+...+n(0,1)^{n}+....$ и так бесконечно. Докажите, что не встретятся подряд идущие цифры 2012.

дано в ответ число 10/81, как значение суммы указанного ряда, но в десятичной записи которого не содержится цифры 8, был бы благодарен. Заранее спасибо.

-- Ср окт 24, 2012 21:44:52 --

EtCetera в сообщении #635121 писал(а):

e2e4 в сообщении #635108 писал(а):

Куда девается 8-ка?

Она присутствует в десятичной записи некрасивой дроби $\dfrac{137\,174\,210}{1\,111\,111\,111}$.

Присутствует. А какое отношение эта дробь имеет к сумме ряда $A = 0.1 + 0.02 + 0.003 + ... + n(0.1)^n + ...$?

[EtCetera]

e2e4
А, то есть Вы просто не поняли, почему $A=\dfrac{10}{81}$? Выше в теме были приведены (участниками nnosipov, DjD USB и TOTAL) по меньшей мере три различных схемы решения этой задачи, которые легко довести до ответа.
Вопрос же об отсутствии цифры 8 в десятичной записи результата сложно назвать содержательным, и в ответе TOTAL не чувствуется никакого снобизма. При делении на девять образуется (как это ни странно) девять различных остатков. А цифр в десятичной системе 10. Следовательно, одна из них будет отсутствовать в десятичной записи рассматриваемой дроби. Ею оказывается 8.

[e2e4]

EtCetera писал(а):

в ответе TOTAL не чувствуется никакого снобизма.

Представьте, обсуждаете вы какую-то компьютерную программу, и задаете вопрос "почему она не работает так-то и так-то", а получаете в ответ что-то типа "есть много программ, которые так не работают", как-то расстраиваешься, не находите? Впрочем, я уже давно заметил, что на этом форуме подобные настолько же очевидные, насколько и бесполезные, пренебрежительные ответы считаются нормой, и перестал обращать внимание. Предлагаю больше не обсуждать эту тему (во всяком случае я не буду ее обсуждать).
-------------
По задаче (спасибо вам EtCetera за объяснение) остались еще вопросы:

EtCetera писал(а):

А, то есть Вы просто не поняли, почему $A = \frac{10}{81}$

Да нет, почему, схему доказательства я понял - из соображений суммы геометрической прогрессии находится сумма бесконечного ряда, прием стандартный.

EtCetera писал(а):

При делении на девять образуется (как это ни странно) девять различных остатков. А цифр в десятичной системе 10. Следовательно, одна из них будет отсутствовать в десятичной записи рассматриваемой дроби. Ею оказывается 8.

Если записать частичные суммы первых n членов ряда A, то можно видеть, что они будут иметь вид: 0.1234567890123456789012345... С другой стороны, сумма бесконечного ряда имеет вид 0.(123456790). Вы хотите сказать, что такая похожесть записей - простое совпадение? Я понимаю, что сумма бесконечного ряда может иметь вид, совсем не похожий на запись частичных сумм ряда, на запись отдельных его членов и т.п. Но в данном случае похожесть-то налицо, вот и интересно, почему пропала 8-ка.

Можно записать еще так: $0.(123456790) = 0.1234567890123456789012345...$?

[nnosipov]

e2e4 в сообщении #635472 писал(а):

Если записать частичные суммы первых n членов ряда A, то можно видеть, что они будут иметь вид: 0.1234567890123456789012345...

И при каком $n$ Вам такое привиделось?

[TOTAL]

e2e4 в сообщении #635472 писал(а):

Но в данном случае похожесть-то налицо, вот и интересно, почему пропала 8-ка.

Не было там 8-ки, поэтому она никуда не пропадала.

[e2e4]

А, ну да, я ошибся - член $10\cdot (0.1)^{-10}$ ошибочно вычислил как равный 0. Тогда все ясно, спасибо за разъяснения.

Теперь вижу, что ответ TOTAL в принципе уместен, хотя он и дан не в попытке разобраться, что мне непонятно и помочь (впрочем, никто это не обязан был делать), а так - исходя из банальной эрудиции. Тем не менее извините меня, TOTAL, за первоначальную реакцию.