Число "А"

[DjD USB]

Пусть число $A=0,1+0,02+0,003+...+n(0,1)^{-n}+....$ и так бесконечно. Докажите, что не встретятся подряд идущие цифры 2012.

[TOTAL]

$A=0.111.../9$
Поправочка: $A=1.111.../9$

[DjD USB]

Т.е. если записать А как обычное число, то в этом числе нигде не встретится такая комбинация цифр 2012

-- Пн окт 22, 2012 18:00:05 --

TOTAL в сообщении #634221 писал(а):

$A=0.111.../9$

Как это

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #634138 писал(а):

число $A=0,1+0,02+0,003+...+n(0,1)^{-n}+....$

Здесь, по-моему, опечатка: нужно $n(0,1)^n$. Или Вы имеете в виду 10-адические числа?

[DjD USB]

Да ошибся

[nnosipov]

Ну, тогда $A=10/81$ (эту сумму можно вычислить).

[DjD USB]

А как вы узнали?

-- Пн окт 22, 2012 18:17:12 --

А как вы узнали?

[nnosipov]

Посуммируйте геометрические прогрессии.

[DjD USB]

Вот решение которое я знаю. Пусть $0,1=n$, тогда $A=n+2n^2+3n^3+...kn^k+...=n(n+n^2+....n^k+.....)'$ Вот здесь под скобкой геом. прогрессия вот и доходим до вашего значения. Но потом когда делим 10 на 81 начинается самое интересное. Мне интересно как школьник догодается делить до 9 знаков после запятой. Я бы забросил скорее всего это дело...

[venco]

Зачем делить? Умножить 2012 на 81 проще.

[DjD USB]

venco в сообщении #634267 писал(а):

Зачем делить? Умножить 2012 на 81 проще.

В смысле? Как это?

[EtCetera]

DjD USB в сообщении #634257 писал(а):

Мне интересно как школьник догодается делить до 9 знаков после запятой.

Любой школьник догадается взять в руки калькулятор. Период бесконечной периодической десятичной дроби $\dfrac{a}{b}<1$ равен $T=\dfrac{a}{b}\cdot\left(10^n-1\right)$ (где $n\ge \left\lfloor\lg T\right\rfloor+1$).
$10^n-1=\underbrace{99\dots 9}_{n}=9\cdot\underbrace{11\ldots 1}_{n}$.
Т.е. первую девятку из 81 мы убиваем автоматически, а вторую можно убить, только взяв в числе
$\underbrace{11\ldots 1}_{n}$
$9$ единиц (вспомните про признак делимости на 9). Получаем
$T\left(\dfrac{10}{81}\right)=\dfrac{10}{81}\cdot\left(10^9-1\right)=\dfrac{\overbrace{11\ldots 1}^9 0}{9}=\ldots$

[venco]

Пусть в результате есть где-то ...2012..., тогда после умножения на 81 должно получиться ...0000..., а не получается.

[EtCetera]

venco
Вот 4567 при умножении на 81 нулей тоже не дает, но оно есть в записи рассматриваемой дроби.

[venco]

Как же не даёт: $...4567...\cdot 81=...9927+[0,80]=...0000...$.