ОТО - единая геометризующая теория поля

[Someone]

pc20b писал(а):

Вы в данном рассуждении не выпустили из виду, что свобода опуститься до класса $C^0$ ограничена необходимостью учитывать наличие третьего объекта пространства ОТО - $\mathbf {EE}$, т.е. чтобы и уравнения Эйнштейна удовлетворялись.

А нету там никакого третьего объекта, Вы его сами придумали. А что касается возникновения проблем с подстановкой каких-то функций в уравнения, записанные в координатной форме - так я Вас предупреждал: сами себе создаёте проблемы. Уравнения Эйнштейна - это некие геометрические условия, они никаких координат не требуют, и им также начихать на наши проблемы с координатами, как и самому многообразию.

pc20b писал(а):

А для этого необходимо, чтобы все функции на многообразии были класса не менее, чем $C^2$. Везде, кроме конечного числа истинных сингулярностей. А если обратное преобразование оказывается недифференцируемым, то - возможны два исхода : либо случайно оказаться в другом пространстве ОТО, не изометричном исходному

Я Вам объяснял уже, что Ваши координаты покрывают только часть пространства-времени Рейснера - Нордстрёма, ни одной новой точки там нет. Изометричность при замене координат сохраняется автоматически, поскольку многообразие не меняется при замене координат (но специально для Вас я объяснял Вам это с учётом Ваших, довольно диких, представлений).

pc20b писал(а):

(возможно даже расширенном), либо вообще выйти за пространства ОТО, если третий объект, $\mathbf {EE}$, исчезает.

Его там и не было. К тому же, у Вас именно такой случай. Как Вы хотите приклеивать многообразие, на котором, из-за отсутствия гладкости, по Вашему же мнению, не выполняются уравнения Эйнштейна?

Слушайте, сколько раз можно повторять одно и то же? Ну, плохо у Вас с математикой. Даже очень плохо. Значит, учиться надо.

Я думаю, что спор на эту тему следует пока прекратить. Вы найдите в литературе (в каком-нибудь уважаемом, рецензируемом издании; ЖЭТФ не предлагать, после публикации в нём Ваших ошибок я потерял к нему уважение) хотя бы один случай, когда бы утверждалось, что при замене координат на многообразии оно, рассматриваемое как геометрический объект, изменяется. Тогда можно будет продолжить.

[Котофеич]

pc20b писал(а):

В ОТО особенности - источники поля.

Очень хорошо что Вы это понимаете. До большинства даже эта тривиальная идея пока
не доходит Однако вся штука в том, что у черной дыры "шкурка" тонкая и на две половинки непрерывным образом ее не натянеш.

[pc20b]

Someone

Цитата:

Ну, плохо у Вас с математикой. Даже очень плохо. Значит, учиться надо.

Конечно плохо. Даже очень. Только это у всех плохо. Как в бане. Помните инструкцию по технике безопасности : "Математику не знает никто".

Цитата:

Уравнения Эйнштейна - это некие геометрические условия

Но всегда многообразие снабжается некой дополнительной (дифференциальной) структурой, так что они образуют как минимум неразлучную пару. Почему у математиков порой возникает иллюзия безразличия глобального к локальному?- Потому что оно наивно считается локально евклидовым, т.е. одинаковым во всех точках (однородным в смысле транзитивности действия группы его диффеоморфизмов, если оно связно и без края).

Цитата:

они никаких координат не требуют

Да, для римановых пространств - на группе изометрических преобразований координат от них "они" не зависят. Но и только.

Цитата:

Изометричность при замене координат сохраняется автоматически

Вы всё время забываете добавить "если якобианы прямого и обратного преобразований не нулятся".

Цитата:

Как Вы хотите приклеивать многообразие, на котором, из-за отсутствия гладкости, по Вашему же мнению, не выполняются уравнения Эйнштейна?

Да в том-то и дело : уравнения Эйнштейна выполняются, а метрика вырождается в точке.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Вы в данном рассуждении не выпустили из виду, что свобода опуститься до класса $C^0$ ограничена необходимостью учитывать наличие третьего объекта пространства ОТО - $\mathbf {EE}$, т.е. чтобы и уравнения Эйнштейна удовлетворялись.

А нету там никакого третьего объекта, Вы его сами придумали.

Здесь Вы не правы, наверно, по инерции : если опуститься до функций класса $C^0$ , то уравнения Эйнштейна - дифференциальные уравнения второго порядка - выполняться не будут.

Цитата:

ни одной новой точки там нет.

Да, пока только якобиан зануляется в одной точке $r=\tilde r=2r_f$ (К примеру, последний пример). Новая метрика в ней вырождается. Уже не изометрия. Но в данном случае это, возможно, не страшно, т.к., как Вы говорите (и Эллис), это происходит в точке и на краю.

А вот представьте себе другое преобразование - посредством неаналитической функции : она образуется, к примеру, посредством разреза функции

$$r=\frac{(\tilde r-2r_f)^3+8r_f^3}{4r_f^2}$$

в точке $\tilde r=2r_f$, раздвижения её влево-вправо на расстояние $\varepsilon =1/2$ , с одновременной плавной деформацией данной функции, оставляющей неподвижной точку $\tilde r=0$, при сохранении нулевой первой производной (и всех остальных) на краях разреза, с последующим вклеиванием в разрыв отрезка $r=2r_f $ единичной длины.

На отрезке $\left[ 2r_f-\varepsilon,2r_f+\varepsilon \right]$ в преобразованном с помощью преобразования координат (на которые вроде бы многообразию "начихать") новом пространстве появляется бесконечно много новых точек, в которых якобиан нулится.

Как в этом случае интерпретировать это Ваше полное высказывание :

Цитата:

Я Вам объяснял уже, что Ваши координаты покрывают только часть пространства-времени Рейснера - Нордстрёма, ни одной новой точки там нет. Изометричность при замене координат сохраняется автоматически, поскольку многообразие не меняется при замене координат (но специально для Вас я объяснял Вам это с учётом Ваших, довольно диких, представлений).

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
А для этого необходимо, чтобы все функции на многообразии были класса не менее, чем $C^2$. Везде, кроме конечного числа истинных сингулярностей. А если обратное преобразование оказывается недифференцируемым, то - возможны два исхода : либо случайно оказаться в другом пространстве ОТО, не изометричном исходному

Вы найдите в литературе (в каком-нибудь уважаемом, рецензируемом издании; ЖЭТФ не предлагать, после публикации в нём Ваших ошибок я потерял к нему уважение) хотя бы один случай, когда бы утверждалось, что при замене координат на многообразии оно, рассматриваемое как геометрический объект, изменяется. Тогда можно будет продолжить.

Во-первых, в рассматриваемой публикации в ЖЭТФ (которой Вы, судя по Вашим словам, не видели) нет ошибок. Рецензия длилась два года, в ней основные нюансы были разобраны. То, о чем здесь у нас с Вами идет речь, - лишь пример трудностей сшивки со статическим вакуумным пространством Рейсснера-Нордстрема, - к самому новому решению уравнений Эйнштейна, метрика которого описывает пространство, удовлетворяющее условию полноты, не имеет отношения. К чему эти эмоции, непонятно.

Что же касается "хотя бы одного случая", то, возможно, рассмотренный выше пример преобразования таким является. Уравнения Эйнштейна выполняются, новые точки появляются, метрика вырождается. А решение выходит за класс эквивалентности решений, изометричных решению Рейсснера - Нордстрема в координатах кривизн.

[pc20b]

Разборка склейки - 2

Someone
По Вашему требованию

Цитата:

Цитата:
Посмотрите статью Vickers P. A.. Charged dust spheres in general relativity. Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, 18 no. 2 (1973), p. 137-145 . Там что-то очень похожее. Вероятно, если хорошо поискать (не только в Интернете), то и Ваше решение найдётся, только без ошибок.

Решения "без ошибок" не обнаружили, т.к. в статье взяты лишь только первые интегралы в системе дифференциальных уравнений второго порядка. Это было проделано позднее, без ошибок плюс решена задача Коши.

По Вашему требованию :

Цитата:

Посмотрите статью E.H.Robson. Junction conditions in general relativity theory. Annales de l'I.H.P., section A, tome 16, n° 1 (1972), p. 41-50. , там подробно рассмотрены условия склейки и разобран пример склейки сферически симметричного решения с решением Шварцшильда. А то, что делаете Вы - это полная ерунда, о чём я Вам долго толкую, но совершенно безуспешно.

- посмотрели статью Робсона.

Оказалось, что ковариантное условие склейки

$$G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu} \in C^0$$

, которое у нас использовалось как "необходимое условие склейки Лихнеровича" и против которого Вы возражали, в данной работе приведено как "правильное" - как одно из условий непрерывности на поверхности склейки. Лишь названо немного по-другому - как "условие склейки О'Брайена - Синга".

Это, естественно, не имеет значения, "назови хоть горшком". Тем не менее, отмеченное Вами свойство данного условия - его исчезновение в чисто гравитационном вакууме $G_{\mu}^{\nu}=0$ - тоже объяснимо. Это сделано в статье

http://gravi.nm.ru/conditions_Darmois_Israel_AarXiv.pdf

Там показывается, что условия склейки "Darmois-Israel" - непрерывность на поверхности склейки индуцированных на ней метрики и тензора внешней кривизны - переходят в непрерывность пространственной части

$$G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu} \in C^0$$

на поверхности при наличии отличного от нуля тензора энергии-импульса материи, но являются более общими, т.к. работают и в вакууме $G_{\mu}^{\nu}=0$.

У нас же вакуум "электромагнитный" с $G_{\mu}^{\nu}\neq 0$, поэтому "условия склейки Лихнеровича - О'Брайена - Синга" продолжают работать и во внешнем пространстве.

Это снимает Ваши обвинения в неверности данного общековариантного условия.

Справедливость же двух других используемых нами условий : непрерывность и экстремальность (либо наличие перегиба) у 4-кривизны поверхностей, ортогональных временной и радиальной координатам на поверхности склейки, которая является горловиной, - это отдельный вопрос.

Добавлено спустя 54 минуты 15 секунд:

Котофеич

Цитата:

Однако вся штука в том, что у черной дыры "шкурка" тонкая и на две половинки непрерывным образом ее не натянеш.

Объясните, пожалуйста.

[Someone]

pc20b писал(а):

Цитата:

Ну, плохо у Вас с математикой. Даже очень плохо. Значит, учиться надо.

Конечно плохо. Даже очень. Только это у всех плохо.

Откуда Вы знаете про всех сразу?

pc20b писал(а):

Цитата:

Уравнения Эйнштейна - это некие геометрические условия

Но всегда многообразие снабжается некой дополнительной (дифференциальной) структурой, так что они образуют как минимум неразлучную пару.

Гладкая структура задаётся атласом, а не уравнениями Эйнштейна.

pc20b писал(а):

Почему у математиков порой возникает иллюзия безразличия глобального к локальному?

Я попросил бы не приписывать математикам глупости собственного изготовления.

pc20b писал(а):

Цитата:

они никаких координат не требуют

Да, для римановых пространств - на группе изометрических преобразований координат от них "они" не зависят. Но и только.

Нет никаких "изометрических преобразований координат", это Ваша выдумка, идущая от непонимания разницы между преобразованиями координат и преобразованиями многообразий.
Координаты - это просто ярлычки, которые мы прицепляем к точкам многообразия, чтобы иметь возможность ссылаться на нужные нам точки и находить их в многобразии. Преобразование координат - это не более чем замена этих ярлычков, с самим многообразием и с его точками при этом ничего не происходит. Если на многообразии были определены какие угодно структуры (в частности, гладкая структура, метрика, кривизна и что угодно ещё), то они никуда не денутся и никак не изменятся, однако при неудачном развешивании ярлычков у нас могут возникнуть проблемы с описанием этих структур и их использованием.
Преобразование многообразий - это, вообще говоря, взаимно однозначное (и взаимно непрерывное) отображение одного многообразия на другое (в частности, и на себя). Оно не обязано сохранять эти структуры и, в частности, не обязано сохранять метрику. А вот если оно сохраняет метрику, то и называется изометрическим (или изометрией).

На Вашу беду, преобразование координат и преобразование многообразий задаются одинаковыми формулами, а разница - в интерпретации.
В случае преобразований координат эти формулы позволяют по одному набору координат точки определить другой набор координат той же самой точки.
В случае преобразования многообразий такие же по виду формулы позволяют по заданной точке одного многообразия найти соответствующую точку другого (в частном случае - того же) многообразия, причём, эти точки, вообще говоря, разные, даже если речь идёт о преобразовании одного многообразия.

pc20b писал(а):

Цитата:

ни одной новой точки там нет.

Да, пока только якобиан зануляется в одной точке $r=\tilde r=2r_f$ (К примеру, последний пример). Новая метрика в ней вырождается. Уже не изометрия.

По-моему, я очень подробно и, надеюсь, очень доступно объяснял, что изометрия. Вы так и не поняли?

pc20b писал(а):

Но в данном случае это, возможно, не страшно, т.к., как Вы говорите (и Эллис), это происходит в точке и на краю.

А вот представьте себе другое преобразование - посредством неаналитической функции : она образуется, к примеру, посредством разреза функции

$$r=\frac{(\tilde r-2r_f)^3+8r_f^3}{4r_f^2}$$

в точке $\tilde r=2r_f$, раздвижения её влево-вправо на расстояние $\varepsilon =1/2$ , с одновременной плавной деформацией данной функции, оставляющей неподвижной точку $\tilde r=0$, при сохранении нулевой первой производной (и всех остальных) на краях разреза, с последующим вклеиванием в разрыв отрезка $r=2r_f $ единичной длины.

На отрезке $\left[ 2r_f-\varepsilon,2r_f+\varepsilon \right]$ в преобразованном с помощью преобразования координат (на которые вроде бы многообразию "начихать") новом пространстве появляется бесконечно много новых точек, в которых якобиан нулится.

Вы эти манипуляции называете преобразованием координат? Вы с ума сошли!

Вы вклеили в многообразие Рейснера - Нордстрёма большой кусок, который не удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, поскольку через этот цилиндр должно проходить электромагнитное поле из одного куска пространства-времени Рейснера - Нордстрёма в другой, и, слодовательно, вклеиваемый кусок должен быть частью пространства-времени Рейснера - Нордстрёма с теми же зарядом и массой. Кроме того, на границах вклеенного куска не выполняются условия склейки (если я правильно понял, что Вы вклеиваете: своего рода "цилиндр" с постоянным значением $r=2r_f$).

pc20b писал(а):

Здесь Вы не правы, наверно, по инерции: если опуститься до функций класса $C^0$, то уравнения Эйнштейна - дифференциальные уравнения второго порядка - выполняться не будут.

Во-первых, уравнения Эйнштейна могут быть записаны как геометрические условия, в бескоординатной форме (см. МТУ).
Во-вторых, если Вы сами, своими руками, выбрали плохие координаты, в которых Вы не в состоянии записать эти уравнения, то Вы за это и отвечаете. Это не означает, тем не менее, что уравнения не выполняются.

pc20b писал(а):

Во-первых, в рассматриваемой публикации в ЖЭТФ (которой Вы, судя по Вашим словам, не видели) нет ошибок. Рецензия длилась два года, в ней основные нюансы были разобраны. То, о чем здесь у нас с Вами идет речь, - лишь пример трудностей сшивки со статическим вакуумным пространством Рейсснера-Нордстрема, - к самому новому решению уравнений Эйнштейна, метрика которого описывает пространство, удовлетворяющее условию полноты, не имеет отношения.

Да, саму публикацию я не видел. Если Вы дадите ссылку, где её можно взять в Интернете, или пришлёте мне текст, посмотрю.
Но я сужу по тому, что Вы показываете здесь. А здесь я вижу некие ПРЕДЛОЖЕНИЯ, излагаемые Вами со ссылкой на эту публикацию, которые заведомо неверны, так как противоречат известным математическим фактам. Вижу некорректное использование условий склейки, также со ссылками на эту публикацию. Что я должен думать? Что публикация содержит ошибки, или что Вы перевираете собственную публикацию?

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Котофеич

Цитата:

Однако вся штука в том, что у черной дыры "шкурка" тонкая и на две половинки непрерывным образом ее не натянеш.

Объясните, пожалуйста.

Извольте. В фисической литературе скаляр Кречмана на горизонте вычислен неверно.
Ну ошиблись ребята, такое бывает.Там на самом деле жуууткая сингулярность.

[Someone]

pc20b писал(а):

По Вашему требованию

"Требование" - это как-то нехорошо звучит. Я от Вас ничего не требовал. Я рекомендовал посмотреть, не более того.

pc20b писал(а):

Цитата:

Vickers P. A. ...

Решения "без ошибок" не обнаружили, т.к. в статье взяты лишь только первые интегралы в системе дифференциальных уравнений второго порядка. Это было проделано позднее, без ошибок плюс решена задача Коши.

Я не утверждал, что в этой статье сделано то же самое, что у Вас. Там, например, показано:
1) как вычислить метрику, зная распределение пыли и заряда (задаёте три произвольные функции и вычисляете указанные интегралы);
2) как склеить это решение с внешним решением Рейснера - Нордстрёма.
Я не проверял детали вычислений, но ход решения там правильный (в отличие от того, что делаете со склейкой Вы).
Я также писал, что, может быть, если хорошо поискать ()в других публикациях), то можно будет найти и то, что делаете Вы (это предположение, а не утверждение), но только без ошибок.

pc20b писал(а):

Оказалось, что ковариантное условие склейки

$$G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu} \in C^0$$

, которое у нас использовалось как "необходимое условие склейки Лихнеровича" и против которого Вы возражали, в данной работе приведено как "правильное" - как одно из условий непрерывности на поверхности склейки. Лишь названо немного по-другому - как "условие склейки О'Брайена - Синга".

Я протестовал не против условия, а против того, как Вы его применяете. Выбирая в качестве уравнения поверхности склейки $r-2r_f=0$, Вы не делаете ничего криминального. Но после перехода к координате $\tilde r$ это уравнение принимает вид $\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}-2r_f=0$, то есть, $\frac{\tilde r^2}{\tilde r+2r_f}=0$, и на поверхности градиент оказывается равным нулю: $f_{,\nu}=0$. В результате условие непрерывности вырождается, оно теперь выполняется для любого $G_{\mu}^{\nu}$, не накладывая на склейку никаких ограничений.
Кроме того, это не все условия склейки. В статье Робсона в пункте "Junction at Arbitrary Surfaces" перечислены условия склейки. Последнее из них, содержащее $\left(\frac{\partial f}{\partial x^4}\right)^{-1}$, в Ваших координатах заведомо выполняться не будет.

pc20b писал(а):

Справедливость же двух других используемых нами условий : непрерывность и экстремальность (либо наличие перегиба) у 4-кривизны поверхностей, ортогональных временной и радиальной координатам на поверхности склейки, которая является горловиной, - это отдельный вопрос.

Ну, Вы сами это условие (зкстремальность) придумали, до сих пор все обходились без него.

[Котофеич]

Someone. Не могли бы Вы пояснить в двух словах, где такие гибридные решения используются

[Someone]

Трудно сказать. Вроде бы, в теории строения и эволюции звёзд, но там в основном интересуются внутренним решением. Однако недавно в Интернете попались статьи [1] и [2], в которых автор склеивает внутреннее решение для звезды с внешним решением, заполненным излучением этой звезды. Пытались строить модели элементарных частиц (всякие фридмоны, максимоны и что-то ещё), но мне это всегда казалось бесперспективным. Теперь вот pc20b пытается сделать такие модели. Может быть, и ещё где-то, но я здесь не специалист, поэтому не знаю. Да, ещё где-то в космологии встречал такие "склеенные" решения, кажется, у Сибгатуллина, но точно не помню. Он рассматривал автомодельные решения с ударными волнами (картина примерно такая: в сжимающейся сферически симметричной Вселенной вещество движется к центру; в центре возникает расширяющаяся ударная волна, за которой решение становится расширяющимся фридмановским).

[Котофеич]

Большое спасибо Someone. Но как я понял, эти решения только приближенные и получить новые точные решения уравнений Эйнштейна, метод сшивки не позволяет

[Someone]

Котофеич писал(а):

Большое спасибо Someone. Но как я понял, эти решения только приближенные и получить новые точные решения уравнений Эйнштейна, метод сшивки не позволяет :?:

Не обязательно приближённые. Если взять два точных решения и (правильно) склеить их по подходящей гиперповерхности, то опять получится точное решение (хотя бы в смысле обобщённых функций). Насколько уместно считать его новым - не знаю.

[pc20b]

Разборка склейки - 3

Someone
Давайте теперь подробнее рассмотрим эти два вопроса, по которым проходит дискуссия, и в ошибках в которых Вы нас обвиняете :
- проблему склейки внутреннего решения с внешним вакуумным и
- идею генерации новых решений через неизометрические преобразования координат с нулящимся якобианом.
Тем более, что Вы ещё и ЖЭТФ в связи с этим укоряете в некачественной рецензии (хотя записка, на которую мы сослались, посвящена в основном внутреннему точному решению уравнений Эйнштейна - Максвелла и данные вопросы там лишь затронуты одним пунктом.

Тем не менее, в работе нет ошибок, и в этом предлагаем Вам убедиться. Сначала рассмотрим первый вопрос - склейки.

1) Пусть есть два куска $n$-мерного пространства $\mathbf {\mathcal {M}}$ с метриками $\mathbf{g}$ (не будем снабжать их отличающими символами), которые надо склеить по $(n-1)$-мерной гиперповерхности $\Sigma$, заданной уравнением $f(x^{\mu})=0$, где $x^{\mu}$ - координаты на кусках $\mathbf {\mathcal {M}}$.

Пусть нормаль к ней $n^{\mu}=f^{;\mu}$, для определенности в знаке пусть времениподобная $n_{\mu}n^{\mu}>0$ в лоренцевых метриках с отрицательной сигнатурой.

Введем на $\Sigma$ индуцированную метрику, которая является одновременно идемпотентным проектором на $\Sigma$ с помощью нормали $n^{\mu}$,

$$h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-n_{\mu}n_{\nu}$$

,

и индуцированную на $\Sigma$ вторую фундаментальную форму, которая является одновременно тензором внешней кривизны гиперповерхности $\Sigma$, которая является спроектированным на $\Sigma$ тензором расхождения :

$$K_{\mu\nu}=h_{\mu}^{\alpha}h_{\nu}^{\beta}n_{(\alpha ;\beta)}$$

.

Тогда условием склейки этих двух кусков будет непрерывность этих двух объектов на гиперповерхности $\Sigma$ (непрерывность будет помечаться значком $\left[C\right]$) :


(1) $h_{\mu\nu}=\left[C\right]$,
(2) $K_{\mu\nu}=\left[C\right]$.


2) Теперь посмотрим, как эти ковариантные условия (1)-(2) выглядят у разных авторов и выполняются ли они у нас - при склейке точного решения для внутреннего мира электрического заряда (ЖЭТФ 128, 2, 2005, с. 300) с внешним статическим вакуумным миром Рейсснера-Нордстрема (вакуум в смысле отсутствия вещества).

1. В МТУ [1] поверхность $\Sigma$ определена как $x^n=const$ ($n$ - фиксированный значок), $x^i (i=1,2,3)$ - координаты на $\Sigma$,

$$K_{ij}=\frac 12g_{ij,n}$$

, условия склейки :
(3)

$$g_{ij}=\left[C\right]$$

,
(4)

$$K_{ij}=\left[C\right]$$

.

2. Масгрейв и Лейк [2] показывают, что те же условия (3)-(4), названные условиями Дармуа (Darmois), эквивалентны более общим условиям Лихнеровича [3] на $\Sigma$ :
(5) $g_{\alpha\beta}=\left[C\right]$,
(6) $g_{\alpha\beta,\gamma}=\left[C\right]$.
С другой стороны, авторы отмечают, что условия (3)-(4) эквивалентны при наличии материи (электромагнитного поля и вещества) условиям (назовем их условиями Масгрейва - Лейка) :
(7) $G_{\mu\nu}n^{\mu}n^{\nu}=\left[C\right]$,
(8) $G_{\mu}^{\nu}x^{\mu}_{,i}n_{\nu}=\left[C\right]$.
Условие (8) можно переписать в координатном базисе как
(8)а $G_{i}^{\nu}f_{,\nu}=\left[C\right]$.

3. Робсон [4], определяя $\Sigma$ как гиперповерхность $x^4-a=0$ с координатами $x^i$ на ней, отмечает, что условия Лихнеровича выглядят как (5)-(6), но им эквивалентны более слабые условия О'Брайена и Синга [5], в которых, в отличие от (5)-(6), не обязательна непрерывность $g_{4\alpha ,4}$ на ненулевой гиперповерхности $\Sigma$, как показал Израэль [6], в случае
(9) $det(g_{\alpha\beta})\neq 0$,
они сводятся к условиям :
(10) $g_{ij}=\left[C\right]$,
(11) $g_{ij,4}=\left[C\right]$.

4. Наконец, О'Брайен и Синг предложили более общие условия склейки на произвольной ненулевой гиперповерхности $f(x^{\mu})=0$ как непрерывность на $\Sigma$ следующих величин :
(12) $g_{\mu\nu}=\left[C\right]$,
(13) $T_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}=\left[C\right]$,
(14) $g_{ik,4}-g_{i4,k}-g_{4k,i}+\frac 12(g_{44,i}f_{,k}+g_{44,k}f_{,i})(f_{,4})^{-1}=\left[C\right]$.
Заметим, что с учетом уравнений Эйнштейна условие (13) можно записать как
(15) $G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}=\left[C\right]$,
которое является более общим, чем условие (8)а.

3) Мы в задаче склейки решения для внутреннего мира электрического заряда с внешним решением Рейсснера-Нордстрема использовали следующие условия склейки на гиперповерхности $(h)$ $f(x^{\mu})=r-r_h=0$ :

(16) $g_{\mu\nu}=\left[C\right]$,
(17) $G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}=\left[C\right]$,
(18) $_0K_r^{(4)}=\left[C\right]$,
(19) $_0K_r^{(4)'}=0$.

Сравнение условий (16)-(19) с условиями (3)-(15) показывает, что при выполнении условий (16)-(19) выполняются все условия (3)-(15), за исключением условия (9) $det(g_{\alpha\beta})\neq 0$. Т.к. у нас на горловине (h) $det(g_{\alpha\beta})=0$ во внутреннем решении из-за требования экстремальности (перегиба) кривизны радиальных сфер. Но это не нарушает никаких условий склейки, т.к. у нас условие $g_{4\alpha ,4}=\left[C\right]$, для которого было введено данное условие (9), выполняется и без него в силу условий (16)-(19).

Покажем конкретно, что, скажем, условия (12)-(15) О'Брайена - Синга, которые накрывают все остальные, у нас выполняются. Внутренняя метрика :

$$ds^2_{int} = dt^2 - \frac {R^{'}^2}{f^2}-R^2d\sigma ^2$$

.
Внешняя метрика

$$ds^2_{ext}=A(r)dt^2-\frac {dr^2}{A(r)}-r^2d\sigma^2$$

, где

$$A(r) = 1-\frac {r_g}{r}-\frac {r_c^2}{r^2}$$

,
чтобы соответствовать внутренней метрике, допустимым преобразованием только лишь радиальной координаты $r=r(\tilde r)$ ([7], c.345) приводится к виду

$$ds^2_{ext}=A(r)dt^2-\frac {r_{,\tilde r}^2d\tilde r^2}{A(r)}-r^2d\sigma^2$$

.

Т.к. внутреннее периодическое во времени пространство обладает статической поверхностью
$\dot R_h=0$, $R=R_h=2R_{fh}=e^2/m_0c^2$,
то сшивку со статическим внешним пространством можно производить только через неё, и т.к. 4-кривизна этой поверхности должна быть экстремальной (или иметь перегиб), т.е. она должна быть горловиной, то, не накладывая дополнительных ограничений на плотность пыли во внутреннем мире электрического заряда, это можно обеспечить только при $R'_h=0$, что при $e\neq \sqrt km_0$ ($f^2_h\neq 0$) влечет обращение в нуль $g_{11h}$, а следовательно, и определителя внутренней метрики на горловине.

Как уже неоднократно отмечалось, это допустимо, означает лишь вырождение сферической системы координат на горловине, которое является тривиальным, т.к. при этом все физические и геометрические величины на ней остаются однозначно определенными и конечными.

Следовательно, от преобразования $r(\tilde r)$ внешней метрики Рейсснера-Нордстрема мы должны потребовать такого же вырождения на горловине $r=r_h$ : $r_{,\tilde r}=0$. При этом якобиан преобразования $J=|r_{,\tilde r}|$ нулится на горловине, а следовательно, нулится на ней и определитель преобразованной метрики. С теми же признаками тривиальности этого вырождения, что и во внутреннем мире. При этом уравнения Эйнштейна удовлетворяются везде : при $r\neq r_h$ в силу допустимости преобразования (его изометричности), а на гиперповерхности $r=r_h$ - в силу непрерывности.

Как это интерпретировать - как сохранение изометричности, т.к. зануление якобиана происходит на 3-границе 4-пространства, как это предложил Someone, - или как выход за класс эквивалентности изометрических пространств, - это в данном случае не имеет значения (отдельный вопрос, хотя и принципиальный. Об этом - во второй части записки). Если изометричность сохраняется, то вообще проблем нет, если она нарушается, то это - деформация решения, причем, допустимая, т.к. деформированная метрика является решением уравнений Эйнштейна.

После таких действий легко убедиться. что все условия склейки (12)-(15) удовлетворяются. Непрерывность на $(h)$ всех метрических коэффициентов (12) обеспечена :

$g_{00}_{int} =1=g_{00}_{ext}=A(r_h)$, если совершить допустимое преобразование временной координаты $t$, не затрагивающее других координат ([7], c.345), $t=(1-\frac {1}{\xi ^2})^{-1/2}\tilde t$, где безразмерный параметр $\xi =e/\sqrt km_0$.
$g_{11}_{int}=0=g_{11}_{ext}$.
$g_{22}_{int}=-R_h^2=g_{22}_{ext}=-2r_{fh}^2$.

Условие (17) сводится к непрерывности $G_1^1_h$, т.е. к непрерывности плотности энергии электромагнитного поля на горловине, что обеспечивается :

$$\varepsilon _{fh}_{int}=\frac {e^2}{8\pi R_h^4} =\varepsilon _{fh}_{ext}=\frac {e^2}{8\pi r_h^4}$$

.

Наконец, условие (14), как нетрудно убедиться прямым вычислением, также удовлетворяется ввиду требования $R'_h=0$, $r_{,\tilde r}_h=0$.

Этого достаточно. Можно, например, убедиться в непрерывности внешней кривизны гиперповерхностей, ортогональных временной и радиальной координате : т.к. 4-кривизна этих гиперповерхностей равна сумме внутренней {in} кривизны и внешней кривизны {ex},

$$_0K_r^{(4)}=_0K_r^{(4)}_{in}+_0K_r^{(4)}_{ex}=\frac {1}{R^2}-\frac {f^2}{R^2}$$

,

то, т.к. эти 4-кривизны по нашим условиям (16)-(19) непрерывны на горловине, внутренние кривизны также непрерывны в силу непрерывности метрических коэффициентов $g_{22}$, то и внешние кривизны оказываются непрерывными при склейке на горловине.

Т.о., в рассматриваемой работе, очевидно, нет ошибок в формулировке условий склейки внутреннего и внешнего решений и в выполнении общепринятых в литературе условий склейки.

Литература
1.Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация. Т.2, М., «Мир», 1977.
2. Peter Musgrave and Kayll Lake. arXiv:gr-qc/9510052 v1 25 Oct 1955.
3. A. Lichnerowicz, Theories Relativistes de la Gravitation et de l'Electromagnetisme, Masson, Paris, 1955, chap. I, III. Zbl 0065.20704
4. Robson, E. H. Junction conditions in general relativity theory. Annales de l'institut Henri Poincare; (A) Physique theorique, 16 no. 1 (1972), p. 41-50
5. S. O'Brien and J.L. Synge, Comm. of the Dublin Institute for Advanced Studies, A, vol. 9, 1952. Zbl 0047.20802.
6. W. Israel, Proc. Roy. Soc., London, A, vol. 248, 1958, p. 404. MR 106073 | Zbl 0094.23202.
7. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Т.II. Теория поля.М., ГИФМЛ, 1962.

[Someone]

pc20b писал(а):

Как это интерпретировать - как сохранение изометричности, т.к. зануление якобиана происходит на 3-границе 4-пространства, как это предложил Someone, - или как выход за класс эквивалентности изометрических пространств, - это в данном случае не имеет значения (отдельный вопрос, хотя и принципиальный. Об этом - во второй части записки). Если изометричность сохраняется, то вообще проблем нет, если она нарушается, то это - деформация решения, причем, допустимая, т.к. деформированная метрика является решением уравнений Эйнштейна.

Упрямый человек. Объясните, что может произойти с многообразием от перевешивания бирок на его точках? Кстати, совершенно не важно, на границе у Вас якобиан обнуляется или не на границе.

pc20b писал(а):

Мы в задаче склейки решения для внутреннего мира электрического заряда с внешним решением Рейсснера-Нордстрема использовали следующие условия склейки на гиперповерхности $(h)$ $f(x^{\mu})=r-r_h=0$ :

(16) $g_{\mu\nu}=\left[C\right]$,
(17) $G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}=\left[C\right]$,
(18) $_0K_r^{(4)}=\left[C\right]$,
(19) $_0K_r^{(4)'}=0$.

Вы очень много всего понаписали, в этом долго разбираться, а у меня со свободным временем напряжённо. Давайте проверим эти условия на уже знакомом примере решения Рейснера - Нордстрёма. После того, как Вы сделали замену переменной $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$, появились две области $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$, склеенные по поверхности $f(x^{\mu})\equiv r-2r_f=0$. Проверьте, пожалуйста, выполняются ли здесь Ваши условия (16) - (19). По возможности, аккуратно. Ранее Вы ответили, что выполняются, правда, не уточняя, какие условия Вы имели в виду.

P.S. Если возможно, не употребляйте, пожалуйста, мелких шрифтов.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Не обязательно приближённые. Если взять два точных решения и (правильно) склеить их по подходящей гиперповерхности, то опять получится точное решение (хотя бы в смысле обобщённых функций). Насколько уместно считать его новым - не знаю.

Someone. Как раз эти самые нелинейные обобщенные решения ОТО и представляют основной интерес, поскольку именно они, позволяют объяснить загадочный феномен квазаров. Но там пока очень много математических проблем и большинство физиков предпочитают этим делом пока не пользоваться. Кстати Пименов, если Вы знаете, получил сингулярные решения типа черных дыр и без склейки, но уже в рамках своих финслеровых обобщений ОТО

[pc20b]

Котофеич
Может быть, Ваш вопрос прояснит такое наблюдение : как невозможно причесать ежа, так нельзя и любое приличное многообразие обклеить одной картой. А т.к. мы пока традиционно ищем решения на одной карте, вот и возникает необходимость в склейке.

Добавлено спустя 12 минут 3 секунды:

Someone:

Цитата:

уравнения Эйнштейна могут быть записаны как геометрические условия, в бескоординатной форме (см. МТУ).

$$R_{\mu\nu}-\frac 12g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}$$

,

$$ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$

.

Скажите, пожалуйста, где Вы здесь видите координаты?