ограниченое пустое множество

[gefest_md]

Ссылаюсь на «Краткий курс» Кудрявцева. Согласно определению ограниченного множества, пустое множество ограничено.
Далее вот пример.

Цитата:

Пример. Пусть $a\in\mathbb{R}$ и $b\in\mathbb{R}$, $a\leqslant b$; тогда

$$\sup[a,\,b]=\sup(a,\,b)=b\quad\inf[a,\,b]=\inf(a,\,b)=a.$$

Здесь замечаю, что любое число является как верхней, так и нижней гранью пустого множества.
Можно вообще говорить о гранях пустого множества?

[chessar]

gefest_md в сообщении #634939 писал(а):

Здесь замечаю, что любое число является как верхней, так и нижней гранью пустого множества.
Можно вообще говорить о гранях пустого множества?

У пустого множества нет ни нижней, ни верхней граней (это из определения из того же «Краткого курса» Кудрявцева), но говорить о гранях пустого множества можно (их просто нет).

[ewert]

gefest_md в сообщении #634939 писал(а):

Согласно определению ограниченного множества, пустое множество ограничено.

Это схоластика. Типа возможного количества зайцев ангелов, пляшущих на кончике иглы. Хочется -- считайте пустое множество ограниченным, хочется -- считайте, что к нему это понятие просто неприменимо; как Вам удобнее. На мой так вкус, удобнее второе: пусть иногда придётся сделать дополнительную оговорку, но зато не придётся ни разу мучительно задумываться -- а что бы мог означать сей логический пируэт.

[apriv]

ewert в сообщении #634971 писал(а):

Хочется -- считайте пустое множество ограниченным, хочется -- считайте, что к нему это понятие просто неприменимо; как Вам удобнее.

Пустое множество, конечно, является ограниченным — оно удовлетворяет [разумным] определениям ограниченного множества (если искусственно не добавлять в определение ограниченного множества требование непустоты). Добавить требование непустоты, конечно, можно, и тогда придется не считать его ограниченным, но в этом случае нужно будет менять формулировки практически всех свойств и многих теорем, в которых это понятие фигурирует, начиная с самых простых. То есть, придется, например, говорить не «пересечение ограниченного множества и произвольного является ограниченным», а «пересечение ограниченного множества и произвольного является либо пустым, либо ограниченным», и т. д. Так что все-таки это не схоластика и не вполне вопрос произвольного выбора. Аналогично, не очень-то много произвола в тех фактах, что сумма пустого множества чисел равна 0, базис нулевого векторного пространства является пустым множеством, $0^0=1$, значение пучка абелевых групп на пустом множестве равно 0 (а предпучка — не обязательно), пустое множество является открытым, замкнутым, хаусдорфовым, компактным, и так далее.

[Someone]

gefest_md в сообщении #634939 писал(а):

Здесь замечаю, что любое число является как верхней, так и нижней гранью пустого множества.

Есть некоторая разница между "верхней гранью множества" и "точной верхней гранью множества" (то же самое - для "нижней"). В частности, любое число является верхней гранью пустого множества, но не является его точной верхней гранью. Естественно считать, что $\sup\varnothing=-\infty$, $\inf\varnothing=+\infty$.