Интересная формула

[Excoder]

Вот эта формула меня в свое время поразила. Нашел ее на http://mathworld.wolfram.com, в несколько неверной записи, удалось ее исправить, и в результате получается интересная формула:

$$\pi = {2 \over {\prod\limits_{n = 2}^\infty {\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)^{{\textstyle{{p_n - 1} \over 2}}} } \over {p_n }}} \right]} }}$$

.
Утверждается, что этот результат получен Эйлером.
Можете проверить в Maple,

evalf(2/product(( 1+ sin( Pi/2*ithprime(i) )/ithprime(i) ), i=1..n))

- n подставьте своё (в формуле синус от полуцелого аргумента расписан как (-1) в степени). Сходится довольно медленно. При n=5000 я получил такое приближение: 3.140625317. При n=10000 получил 3.140706866. n=20000: 3.141028872. n=30000: уже горячо - 3.141505038.

Понятно, что эта формулка имеет мало практических применений. Но согласитесь, это покрасивше, чем формулки от господина Smarandache. Собственно вопрос в том: как же можно доказать эту формулу? Или еще интереснее: как ее можно вывести?

[Gordmit]

Можете потестировать также

$$\pi = {3 \over {\prod\limits_{n = 2}^\infty {\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)^{{\textstyle{{p_n + 1} \over 2}}} } \over {p_n }}} \right]} }}$$

Доказать сходу пока не получилось...

[RIP]

Пусть $\chi~-$ нечётный характер по модулю 4, т.е.

$$\chi(n)=\begin{cases}0,&2|n;\\1,&n\equiv1\pmod4;\\-1,&n\equiv-1\pmod4;\end{cases}$$

$$L(s,\chi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}=\prod_p\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1},\ Re(s)>1.$$

Тогда

$$L(s,\chi)\cdot\prod_p\left(1+\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}=L(2s,\chi^2).$$

Устремим $s\to1+0$. Тогда $L(s,\chi)\to L(1,\chi)=1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots=\arctg1=\frac{\pi}4$, $L(2s,\chi^2)\to L(2,\chi^2)=1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\frac1{7^2}+\ldots=\left(1-\frac14\right)\zeta(2)=\frac{\pi^2}8$.
Получаем

$$\lim_{s\to1+0}\prod_p\left(1+\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}=\frac{\pi}2.$$

Осталось доказать, что этот предел равен значению этого выражения при $s=1$ (для этого достаточно, чтобы ряд $\sum_p\frac{\chi(p)}p$ сходился). Док-во можно найти в книге Дэвенпорт Г. — Мультипликативная теория чисел, стр. 67-68.

[Excoder]

Отлично, RIP Вы любитель, или профессионально занимаетесь теоретической математикой?

Кстати, раз Вы так хорошо ориентируетесь в трудах по теории чисел, не подскажете ли Вы, где можно найти монографию Гильберта по теории чисел? Мне нравится читать классиков, но, к сожалению, именно эту книгу Гильберта я не нашел - ни на русском, ни на английском... Его ранние работы по теории инвариантов я видел на английском, но теорию чисел почему-то не обнаружил...

[RIP]

Я любитель (пока студент), но надеюсь в будущем заниматься математикой профессионально (конкретно, теорией чисел).
Не сказал бы, чтобы я так уж хорошо ориентировался в книжках. Про книжку Гильберта, к сожалению, не знаю. Сам не прочь был бы посмотреть.

Добавлено спустя 7 минут 23 секунды:

Gordmit
Там вместо 3 должна 4 стоять вроде бы?

[Gordmit]

Да, похоже, действительно должно быть 4.
Я незаконно перемножил два условно сходящихся бесконечных произведения
На самом деле, мое бесконечное произведение, которое в знаменателе, равно $\dfrac{1}{L(1,\chi)}=\dfrac{4}{\pi}$.
Кажется, мне нечего делать в этой теме

[RIP]

Да нет, перемножение произведений законно (правда сходимость произведений --- факт нетривиальный). Просто после перемножения рядов получается не совсем $\zeta(2)$, поскольку в произведениях не фигурирует двойка. Получается $L(2,\chi_0)=...$

[Gordmit]

Ага, понял, в чем дело Спасибо.

Добавлено спустя 1 минуту 5 секунд:

P.S. Прошу прощения за оффтопик.