производная.

[f(x(t))]

То АКМ
Или, быть может, Вы хотите сказать, что скорость явление совсем не математическое? Допустим 2х мерное пространство (х,у) и функция на нём $ y = f(x) = x^2$. $y'(x) = f '(x) = 2x$. Пусть точка $a = (3,9)$. Длина вектора скорости есть $y'(x) = 6$, начало этого вектора в точке а, потому - что нам так нравиться, а направление вектора по касательной, в положительном увеличении оси х тоже безовсякой на то математической причины. Я правильно понимаю?


-- 21.10.2012, 18:56 --
То alcoholist:

Цитата:

Дифференциал это "прирост" ординаты касательной по отношению к приросту абциссы. То есть $dy = df(r_u, r_v) = f_u '(r_u, r_v) \delta r_u + f_v '(r_u, r_v) \delta r_v $ Если r_u и r_v вектора, то $ \delta r_u$ и $ \delta r_v$ тоже вектора, значит и произведение $ f_u '(r_u, r_v) \delta r_u$ будет вектором.

Я прав? (я не уверен, поэтому мне очень важно Ваше "Да, прав" или "Нет, не прав")

Цитата:

и что утверждается?

Тогда $2(( \partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du)$ при выше приведёных условиях(произведение $ f_u '(r_u, r_v) \delta r_u$ будет вектором), равен нулю и вопрос сводится к следующему: всегда ли при задачи базиса задаются единичные вектора? Можно ли задать базис скалярно? Если можно, что происходит в том случае.

[Алексей К.]

f(x(t)) в сообщении #633692 писал(а):

То АКМ
Или, быть может, Вы хотите сказать, что скорость явление совсем не математическое?

Не буду отвечать за АКМ, а сам не знаю, что за "математичность" Вы вкладываете в вопрос. Я уже приводил пример --- остывание кастрюли, $-1{{}^\circ{/}\text{мин.}}$ Что ещё нужно? Какой вектор, какие направления? Ну, минус поставил, чтобы остывание от нагревания отличить.

Та же тропинка. 1 градус на метр. Плюс-минус, чтобы различить влево-вправо. Что ещё нужно? Какие здесь могут быть векторы и тангенсы? По данной "скорости" (и начальному положению) однозначно рисуется тропинка.

Автобус. По прямой едет себе, 80 км/час. Столбики километровые вдоль дороги, всё ясно. Даже вдоль кривого пути, но рассматриваемого безотносительно к его форме, к поворотам и проч.

Да, если нас интересует не координата автобуса вдоль фиксированного пути, если сама функция положения автобуса на плоскости Земли будет вектором, то и производная будет вектором. Будет функция фактором (не помню, кто это такой) - будет и производная фактором. Будет функция тензором (не помню, кто это такой) --- будет и производная тензором. Будет функция квантором (забыл, кто это такой) --- будет и производная квантором (скорее всего).
Но Вы вроде не об этих усложнённых случаях говорили.

(Оффтоп)

Я, конечно, слышал, что Земля не очень плоская, но не хочу сейчас в это углубляться. Ограничимся автобусом по Московской области.

-- 21 окт 2012, 20:20:02 --

f(x(t)) в сообщении #633692 писал(а):

Допустим 2х мерное пространство (х,у) и функция на нём $ y = f(x) = x^2$. $y'(x) = f '(x) = 2x$. Пусть точка $a = (3,9)$. Длина вектора скорости есть $y'(x) = 6$, начало этого вектора...

Ну нет там никакого вектора! Есть значение производной, которому Вы почему-то приписываете векторность.

Возьмите правду, $x\equiv t$ --- секунды, $y$ - метры, $y=\frac12g t^2$. Если там есть вектор (и всё двумерно) то какие у него две проекции в некоторой точке? Прекция на ось абсцисс и проекция на ось ординат какие?
А потом длину померяем...

Хотя я предпочёл бы всё же с кастрюлей работать...

[CptPwnage]

Дифференциал это никакой не прирост, это линейный оператор на касательных векторах!

[f(x(t))]

Допустим, у нас есть плоская карта Москвы. И на этой карте отмечен путь автобуса. пусть он едет не по прямой, а по дуге. Путь автобуса можно описать формулой $u = f(v)$, где u - широта, v - долгота пункта нахождения автобуса на карте. Угол между широтой и долготой на карте 90 градусов. Тогда функция изменения отношения широты пункта нахождения автобуса по долготе этого пункта будет производная от функции $u=v(x)$. И это будет функция $u' = f '(v)$ Само изменение отношения широты к долготе в конкретном пункте вычисляется подставлением значения долготы вместо х в формулу производной $u' = f '(v)$. Получается число. Скаляр. Этот скаляр мы называем мгновенной скоростью. Это просто число, у него нет ни направления, ни положения на осях, просто число. А теперь мы рассматриваем карту Москвы в пространстве, согнули её в некоторых местах так, чтобы она оставалось гладкой, и составили отношение пространственных осей x,y,z к пути автобуса, выраженных через какие - нибудь функции g,k,l от широты и долготы карты. Тогда перемещение автобуса в трёхмерном пространстве будет $s = (x^2+y^2+z^2)^{1/2}$ и $y^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2$
В случае, если мы возьмём векторный базис и u и v окажуться векторами, то произведение $2(( \partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du)$ будет равно нулю, как ортогональных векторов, в противном же случае не будет равно нулю. Мы получим 2 разных результата для векторного и скалярного базиса, а автобус - то один, и правильный будет тоже только один. Какой?

[Алексей К.]

f(x(t)) в сообщении #633747 писал(а):

Тогда перемещение автобуса в трёхмерном пространстве будет $s = (x^2+y^2+z^2)^(1/2)$ и

Показатель степени (или индекс), состоящий из нескольких символов, следует заключать в фигурные скобки: $s = (x^2+y^2+z^2)^{1/2}$. Из той же оперы: сравните $s = \sqrt(x^2+y^2+z^2)$ и $s = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
По делу тоже напишу, здесь мне слова надо искать.

-- 21 окт 2012, 21:53:55 --

f(x(t)) в сообщении #633747 писал(а):

В случае, если мы возьмём векторный базис и u и v окажуться векторами,

Вот я бы не рискнул так с лёту обзывать эти два параметра векторами. Полез бы в книжки вспоминать, что можно назвать вектором, и за что. Да и выше Вы берёте производные по этим величинам, а меня никогда не учили брать производные по вектору. Я, может и отстал. (Производная по направлению не является "производной по вектору", если что.)
И ещё: слово "скорость" мне в математике тоже не встречалось. Ни одно известное мне определение это слово не использует. В том числе определение производной. В комментариях к определениям и понятиям --- да, сколько угодно. Но ведь и физические, и бытовые трактовки этого понятия столь разнообразны, что применять его в строгих математических рассуждениях нельзя. Можно локально, с конкретной дефиницией.

Автобус едет, и по карте мы легко замеряем 30 км/час по одной оси, и -40 км/час по другой, ортогональной. Получим

$$v=\begin{pmatrix}{30\\-40}\end{pmatrix}.$$

А спидометр (сучара) показывает 50 км/час.

f(x(t)) в сообщении #633747 писал(а):

и правильный будет тоже только один. Какой?

f(x(t)) в сообщении #633747 писал(а):

Мы получим 2 разных результата для векторного и скалярного базиса,

Это, что ли, "разные результаты для векторного и скалярного базиса"? Сильно противоречат друг другу?

[f(x(t))]

Вы вводите дополнительную переменную - время и меряете скорость на спидометре относительно её. Результаты различаются потому - что функции разные. Скоростью я назвал число, получаемое подставлением координаты точки в производную функции зависимости широты от долготы. Определение широты и долготы содержится в предыдущем посте.

Цитата:

Вот я бы не рискнул так с лёту обзывать эти два параметра векторами.

Вектором можно назвать произведение параметра на единичный вектор, выбранный вдоль оси. Тогда получим u=ui, v=vj. Рассуждений эта моя неточность не меняет, в первом случае оперируем скалярами, во втором u=u, v=v и оперируем векторами.

Цитата:

Это, что ли, "разные результаты для векторного и скалярного базиса"? Сильно противоречат друг другу?

Да,

$$y^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2$$

не равно

$$y^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+(( \partial y/ \partial u)du)^2$$

[Алексей К.]

f(x(t)) в сообщении #633803 писал(а):

Да,

$$y^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2$$

не равно

$$y^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+(( \partial y/ \partial u)du)^2$$

Ну нельзя писать
"Да, {а равно бэ равно цэ} не равно {а равно бэ равно дэ}".
Реально стоит точнее выражаться.

UPD, 00:02.
Перепутав кнопки "цитата" и "правка", испортил это своё сообщение (ниже частично цитируемое топик-стартером). Прошу меня извинить.

[f(x(t))]

Цитата:

Здесь присутствуют странное равенство

$$y = ( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du\eqno(1)$$

Вы правы, совершил ошибку который раз перепечатывая материал с прошлых постов, лучше копипаст:

Цитата:

Исправляю.


$(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 +(dx)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2 +(dx)^2+(dz)^2$

$(dy)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2$

Цитата:

и неверное равенство

$$\underbrace{(( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2}_{(a+b)^2} = \underbrace{(( \partial y/ \partial v)dv)^2+(( \partial y/ \partial u)du)^2}_{a^2+b^2}.$$

Выражайтесь точнее.

Ответ:

Цитата:

В случае, если мы возьмём векторный базис и u и v окажуться векторами, то произведение $2(( \partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du)$ будет равно нулю, как ортогональных векторов

Цитата:

и замудрили всё это во что-то неуместно сложное, с несколькими переменными,

Что тут сложного, клетчатый лист бумаги в пространстве.

Цитата:

долготами-ширинами вперемежку с абсциссами-ординатами.

Долготу - широту я "замудрил" расширяя Ваш пример с автобусом. Широта и долгота это координаты поверхности (u,v), то же, что и абсциссы-ординаты.

Цитата:

И пишете какие-то неприличние вещи (1)

Надеюсь Вы мне простите....

Цитата:

Я, похоже, пас...

Жаль, искренне жаль.

Цитата:

Не исключаю, что кто-то другой поймёт

Не перестаю надеяться на ответы на мои вопросы....

Цитата:

В случае, если мы возьмём векторный базис и u и v окажуться векторами, то произведение $2(( \partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du)$ будет равно нулю, как ортогональных векторов, в противном же случае не будет равно нулю. Мы получим 2 разных результата для векторного и скалярного базиса, а автобус - то один, и правильный будет тоже только один. Какой?

[CptPwnage]

В чем проблема итого, что там скаляр а тут вектор cкорость?

[f(x(t))]

Проблема в разнице получаемого результата, в том, что при векторном произведении следующие произведение обнуляется
$\ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))$, а при скалярном нет. То есть, в зависимости от точки зрения результат разный, чего быть не может. Значит где - то ошибка, где?

[Алексей К.]

f(x(t)) в сообщении #633803 писал(а):

Вектором можно назвать произведение параметра на единичный вектор, выбранный вдоль оси. Тогда получим u=ui, v=vj.

Можно умножить, и можно назвать. Но зачем???
Дифференцируете Вы по u, а не по u. Зачем эти излишества? Зачем читателю Ваших мыслей думать об осмысленности такого "можно назвать", об осмысленности операций с этими "векторами"? Зачем? Чисто ради того, чтобы потом использовать словосочетание "векторный базис" (столь же худое)?

Ненужное не просто отвлекает, но и запудривает моск.

[Henrylee]

(Оффтоп)

Во как военрука-то размотало! (с) КВН Смоленск.
Читаю и не могу понять : trolling или не trolling

[f(x(t))]

Цитата:

Можно умножить, и можно назвать. Но зачем???

Смысл есть. Пронумерую предложения и повторюсь, если с чем - то не согласны, прошу Вас меня поправить.
1. Есть клеточный лист бумаги.
2. На этом листе выбрана система координат, угол между осями которой равен 90 градусов.
3. В ходе моих рассуждений получится, что результат измениться в зависимости от того, выбрана ли скалярная система координат или векторная (задан ли векторный базис).
4. Назовём координаты листа u и v.
5. На листе задана функция одной координаты от другой. Например $u = f(v)$.
6. В случае скалярного задания системы координат, путь, перемещение, производная f '(v) будут скалярами.
7. В случае задания векторного базиса на системе координат, путь, перемещение, производная f '(v) будут векторами.
8. Лист находится в трёхмерном пространстве.
9. Лист согнут, однако остаётся гладким.
10. В трёхмерном пространстве выбрана система координат.
11. Обозначим оси системы координат также, как и координаты на этих осях: x,y,z.
12. Для координаты x пусть задана функция $x = x(u,v)$
14. Для координаты y пусть задана функция $y = y(u,v)$
15. Для координаты z пусть задана функция $z = z(u,v)$
16. $dx=(\partial x/ \partial v)dv+(\partial x/ \partial u)du$
17. $dy=(\partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du$
18. $dz=(\partial z/ \partial v)dv+(\partial z/ \partial u)du$
19. Квадрат перемещения в пространстве будет $s^2 = (dx)^2+(dy)^2+(dz)^2$
20. $(dy)^2+(dx)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 +(dy)^2+(dz)^2$
21. $(dy)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2 $
22. И в зависимости от того, имеем ли мы дело с векторами или со скалярами член уравнения $2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))$ может обнуляться или не обнуляться.
23. То есть, получается разная длина перемещения s.
24. Чувствую, что в рассуждениях что - то не так, и не может разультат зависеть от системы координат.

(Оффтоп)

То Henrylee: Вы правы, я уже очень много раз повторился, но всё - таки не думаю, что меня здесь тролят. По крайней мере надеюсь что это не так...

[android2012]

f(x(t)) в сообщении #633262 писал(а):

Что такое производная? Тангенс угла наклона или скорость? В первом случае это скаляр, во втором вектор.

а из какой стороны в какую сторону "берёте"?) (мздоимец?)

[DANGER]

Если хотите понять геометрический смысл производной, то рассмотрите для начала такой пример:
1. Площадь круга есть функция радиуса $\displaystyle s(r)=\pi r^2$.
2. Длина окружности есть функция радиуса $\displaystyle l(r)=2\pi r$.
3. Эти две функции одного и того же аргумента связаны друг с другом особым образом, а именно, как производная-первообразная.
4. Дифференциал радиуса - есть расстояние между соседними точками, т.е. - элементарный отрезок - самый малый радиус, какой только может быть: $dr=\Delta r \to 0$.
5. Произведение длины окружности на дифференциал радиуса - есть дифференциал площади круга - т. е. самое малое приращение площади круга, которое только может быть: $d\pi r^2=2\pi r \cdot dr$ (элементарное колечко).
6. Площадь круга есть сумма всех элементарных колечек, начиная от центра круга и до его произвольного значения, например R: $\displaystyle\int\limits_{0}^{R} l(r)dr$.
Теперь, глядя на эти 6 пунктов, попробуйте самостоятельно разобраться в той самой специфически связанной друг с другом паре функций одного и того же аргумента. хотя функций этого аргумента может быть множество. Если у Вас получилось, то попробуйте так же разобрать еще одну пару: площадь поверхности шара-объем шара.

-- 22.10.2012, 04:14 --

Если у Вас не получится, я помогу.