Найти функцию (школьные олимпиады)

[TOTAL]

AlinkoMalinko в сообщении #633688 писал(а):

Извините если туплю, за 21 год первый функционал, $f(x)+1/f(x)=x+1/x$, хорошо, почему мы можем утверждать что $f(x) \in \left\{ x,1/x \left\}$

Поясните, что здесь утверждается.

[ewert]

AlinkoMalinko в сообщении #633669 писал(а):

Ну, из $ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$ следует что $ f(x)= x^a $ или нет?

Следует только то, что $f(x)=e^{g(\ln x)}$, где $g$ -- любая нечётная функция.

Mikhail Sokolov в сообщении #633641 писал(а):

получим, что $f(x) \in \left\{ x,1/x \right\}$.

Аккуратнее выражайтесь -- не любая такая функция является решением.

[AlinkoMalinko]

TOTAL в сообщении #633687 писал(а):

Если любое действительное, то странно что спрашиваете, ведь Mikhail Sokolov показал выше, что для каждого конкретного $x$ верно либо $f(x)=x$, либо $f(x)=1/x.$ Осталось показать, что либо для всех $x$ верно $f(x)=x$, либо для всех $x$ верно $f(x)=1/x$

Вы читали первое сообщение?

Вот полезная часть:

Мой прогресс:
Нашла 2 функции: $ f(x)=x, f(x)=\frac1 x $
И доказала что
$ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$, (*)
$ f(x)+ f(\frac1 x)=x+\frac1 x$
$ f(1)= 1$

Могу ли я на основании (*) утверждать что $ f(x)= x^a $? (я это использовала в доказательстве, так как интуитивно понятно, но, хотелось бы фактов...)

Как на основании полученного понять что эти функции единственные?

[TOTAL]

AlinkoMalinko в сообщении #633696 писал(а):

Могу ли я на основании (*) утверждать что $ f(x)= x^a $? (я это использовала в доказательстве, так как интуитивно понятно, но, хотелось бы фактов...)

Как на основании полученного понять что эти функции единственные?

Не можете.

[AlinkoMalinko]

Ладно, видно блондинкам не понять. Спасибо что уделили внимание

[ewert]

AlinkoMalinko в сообщении #633696 писал(а):

Как на основании полученного понять что эти функции единственные?

ewert в сообщении #633690 писал(а):

Следует только то, что $f(x)=e^{g(\ln x)}$, где $g$ -- любая нечётная функция.