Найти функцию (школьные олимпиады)

[AlinkoMalinko]

Добрый день. Попалась вот такая задача
$f(0, \infty)\to(0, \infty)$
$x_{1}x_{2}\ldots x_{2k}=1$
Найти все такие функции, что

$$\frac{f(x_{1})+ f(x_{2})} {x_{1}+x_{2}}\cdot \frac{f(x_{3})+f(x_{4})} {x_{3}+x_{4}}\cdot \ldots \cdot\frac{f(x_{2k-1})+f(x_{2k})} {x_{2k-1}+x_{2k}}=1$$

.
Мой прогресс:
Нашла 2 функции: $ f(x)=x, f(x)=\frac1 x $
И доказала что
$ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$, (*)
$ f(x)+ f(\frac1 x)=x+\frac1 x$
$ f(1)= 1$

Могу ли я на основании (*) утверждать что $ f(x)= x^a $?
Я понимаю что скорее всего нет, хотелось бы намёк что с этим делать.....

[AKM]

Наверное, Вы имели в виду \infty $(\infty)$. Попробуйте исправить. И вообще, понятнее напишите ту фразу в начале.

-- 20 окт 2012, 18:45 --

Олимпиада закончилась?

[AlinkoMalinko]

да, занимаюсь с племянником по прошлому году

[Mikhail Sokolov]

$k \geq 2$?
Если да, то, полагая $x_1=x$, $x_2=y$, $x_3=1/(xy)$ и $x_4,...,x_{2k}$ равными 1 и пользуясь тождеством $f(x)+f(1/x)=x+1/x$, приходим к тому, что $f(x) \in \left\{ x,1/x \right\}$ для любого $x$. Дальше подставновкой необходимо выяснить какие из этих функций удовлетворяют тождеству. У меня, если не ошибся, получилось, что только $f(x)=x$.

[AlinkoMalinko]

Mikhail Sokolov в сообщении #633606 писал(а):

У меня, если не ошибся, получилось, что только $f(x)=x$.

чем вас не устраивает решение $f(x)=1/x$?

Mikhail Sokolov в сообщении #633606 писал(а):

$k \geq 2$?
Если да, то, полагая $x_1=x$, $x_2=y$, $x_3=1/(xy)$ и $x_4,...,x_{2k}$ равными 1

2) Что нам дает эта подстановка?

$$\frac{f(x)+ f(y)} {x+y}\cdot \frac{f(\frac1 {xy})+1} {\frac1 {xy}+1}=1$$

.

[TOTAL]

Вот это ещё попробуйте

$$\frac{f(x)+ f(x)} {x+x}\cdot \frac{f(1/x)+f(1/x)} {1/x+1/x}=1$$

[Mikhail Sokolov]

Да, что-то я намудрил. 1) $f(x)=1/x$ - тоже решение. 2) И подстановка не та.
Возьмем $x_1=x$, $x_2=1$, $x_3=1/x$, $x_4=1,...,x_{2k}=1$. Далее воспользовавшись тождеством $f(x)+f(1/x)=x+1/x$ (*), получим $f(1/x)=1/f(x)$ (**). Используя (**) в (*), получим, что $f(x) \in \left\{ x,1/x \left\}$.

[AlinkoMalinko]

TOTAL в сообщении #633640 писал(а):

Вот это ещё попробуйте

$$\frac{f(x)+ f(x)} {x+x}\cdot \frac{f(1/x)+f(1/x)} {1/x+1/x}=1$$

Получается
$ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$, (*)

Повторюсь

Могу ли я на основании (*) утверждать что $ f(x)= x^a $?

[TOTAL]

AlinkoMalinko в сообщении #633644 писал(а):

$ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$, (*)

Повторюсь

Могу ли я на основании (*) утверждать что $ f(x)= x^a $?

А что здесь утверждается при неопределенном $a$?

[AlinkoMalinko]

Ну, из $ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$ следует что $ f(x)= x^a $ или нет? (меня третий день интересует только этот вопрос)

[Mikhail Sokolov]

Не следует.

[TOTAL]

AlinkoMalinko в сообщении #633669 писал(а):

Ну, из $ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$ следует что $ f(x)= x^a $ или нет?

Невозможно ответить, т.к. $a$ не определено.

[AlinkoMalinko]

Любое действительное число (то что такая функция подходит, понятно, а почему только она?)

[TOTAL]

Если любое действительное, то странно что спрашиваете, ведь Mikhail Sokolov показал выше, что для каждого конкретного $x$ верно либо $f(x)=x$, либо $f(x)=1/x.$ Осталось показать, что либо для всех $x$ верно $f(x)=x$, либо для всех $x$ верно $f(x)=1/x$

[AlinkoMalinko]

Mikhail Sokolov в сообщении #633641 писал(а):

Да, что-то я намудрил. 1) $f(x)=1/x$ - тоже решение. 2) И подстановка не та.
Возьмем $x_1=x$, $x_2=1$, $x_3=1/x$, $x_4=1,...,x_{2k}=1$. Далее воспользовавшись тождеством $f(x)+f(1/x)=x+1/x$ (*), получим $f(1/x)=1/f(x)$ (**). Используя (**) в (*), получим, что $f(x) \in \left\{ x,1/x \left\}$.

Извините если туплю, за 21 год первый функционал, $f(x)+1/f(x)=x+1/x$, хорошо, почему мы можем утверждать что $f(x) \in \left\{ x,1/x \left\}$