Когда гладкое отображения является инъективным?

[DLL]

Пусть гладкие функции $f(x,y)$ и $g(x,y)$ задают в области $G$ пространства $R^2$ отображение. Пусть якобиан $J$ этого отображения отличен от нуля в каждой точки области $G$.

Тогда отображение переводит $G$ на некоторую область $D$ евклидова пространства $R^2$ локально инъективно.

Вопрос: есть ли какие-нибудь известные условия, когда вышеуказанное отображение переводит $G$ на $D$ взаимнооднозначно?

[neo66]

Если $D$ - это образ инъективного отображения, то $G$ отображается на $D$ взаимнооднозначно просто по определению.

[DLL]

Про то, что отображение инъективное, никто не говорил.
Строго говоря, именно в этом и вопрос. При каких дополнительных условиях гладкое отображение с ненулевым якобианом инъективно?

[alcoholist]

DLL в сообщении #632277 писал(а):

При каких дополнительных условиях гладкое отображение с ненулевым якобианом инъективно?

Достаточно гладкости и ненулевого якобиана -- теорема об обратном отображении

[Профессор Снэйп]

alcoholist в сообщении #632348 писал(а):

Достаточно гладкости и ненулевого якобиана -- теорема об обратном отображении

Так это же локально... Или нет?

[DLL]

Цитата:

Достаточно гладкости и ненулевого якобиана -- теорема об обратном отображении

Недостаточно, будет только локальная инъективность.
Пример: $f(z) = z^2$ в кольце $0 <|z| < 1$.

[ewert]

Есть подозрение, что для для глобальной инъекивности достаточно односвязности образа. Но теорем на этот счёт я не знаю или не помню; возможно, это и неправда.

[Someone]

По-моему, неправда. Нужно немного модифицировать этот пример с кольцом, чтобы какая-то часть области накрыла "дырку" в кольце. Тут же аналитичность не требуется.

[ewert]

Someone в сообщении #632660 писал(а):

чтобы какая-то часть области накрыла "дырку" в кольце. Тут же аналитичность не требуется.

Резонно. Ну тогда, скорее всего, никаких вразумительных достаточных условий глобальной инъективности и не сыщется.

[alcoholist]

Профессор Снэйп в сообщении #632395 писал(а):

Так это же локально... Или нет?

да, забыл односвязность упомянуть

-- Сб окт 20, 2012 09:42:46 --

ewert в сообщении #632636 писал(а):

Есть подозрение, что для для глобальной инъекивности достаточно односвязности образа. Но теорем на этот счёт я не знаю или не помню; возможно, это и неправда.

локально инъективное гладкое отображение является накрытием, КМК. Поэтому в случае односвязности образа и связности самого пространства такое отображение д.б. диффеоморфизмом

[theambient]

alcoholist в сообщении #633051 писал(а):

локально инъективное гладкое отображение является накрытием, КМК.

alcoholist, что такое накрытие?

alcoholist в сообщении #633051 писал(а):

Поэтому в случае односвязности образа и связности самого пространства такое отображение д.б. диффеоморфизмом

может быть я чего-то недопонимаю, но как насчет отображения

$$ \begin{array}{lcl} x &=& r \cos \varphi,\\ y &=& r \sin \varphi, \end{array} $$

где $(r,\varphi) \in [0,1] \times [0,4\pi]$.

Вроде бы локально иньективно, образ связен, само пространство связно, но не глобально инъективно.

Пользуясь случаем, задам давно мучающий меня вопрос.

Для начала переформулирую исходную задачку, чтобы был понятен переход. Пусть дана вектор-функция векторного аргумента $f(x): G \in \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$. При каких дополнительных требованиях локально-иньективная функция $f$ является глобально инъективной? То есть по сути когда мы можем однозначно разрешить уравнение $y = f(x), y \in \operatorname{Im} f$.

Теперь расширим задачу. Так получилось, что функция не является глобально инъективной, но есть некоторый произвол, который можно использовать: есть некоторое семейство функций $f(x;p)$ зависящих от параметра $p \in P$.

Каждая функция локально-инъективна. Распоряжаясь параметром $p$ может оказаться так, что удастся восстановить $x$ из набора $(y_p = f(x;p), p), \, p \in P$.

То есть задача о восстановлении структуры черного ящика.

              +-----------+
         p    |           |   y_p
     +------->|   f(x;p)  | +----->
              |           |
              +-----------+

Или посоветуйте литературу. Это уже должно было быть в симпоснах.

[alcoholist]

theambient в сообщении #633082 писал(а):

Вроде бы локально иньективно

нет, точки $(0,\varphi)$ склеиваются

-- Вс окт 21, 2012 13:54:10 --

theambient в сообщении #633082 писал(а):

что такое накрытие?

поисковик

[theambient]

alcoholist в сообщении #633577 писал(а):

нет, точки склеиваются

а если взять область $(r,\varphi) \in [1,2] \times [0,4 \pi]$?

[alcoholist]

theambient в сообщении #633593 писал(а):

а если взять область $(r,\varphi) \in [1,2] \times [0,4 \pi]$?

тогда образ неодносвязен -- накрытие получится

[theambient]

alcoholist в сообщении #633051 писал(а):

локально инъективное гладкое отображение является накрытием, КМК. Поэтому в случае односвязности образа и связности самого пространства такое отображение д.б. диффеоморфизмом

Где про это можно почитать? Не совсем понятно как односвязность образа влияет на глобальную инъективность.