Аксиомы "не математики"

[bin]

epros в сообщении #631513 писал(а):

всё доказуемое вычислимо

Вас послушать так и программа Гильберта выполнима :

Цитата:

В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лидером этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с помощью простых методов метаматематике удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. Однако теоремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществима. (Википедия:Метаматематика)

-- Чт окт 18, 2012 14:04:54 --

Еще одна цитата на тему, что не так все просто:

Цитата:

Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения — «сокращенными выражениями», которые «теоретически необязательны, но зато типографически удобны».

Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержательной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной логики и решения математических задач.(Википедия:Метаматематика)

-- Чт окт 18, 2012 14:17:49 --

Ribocyte в сообщении #632323 писал(а):

Математика в широком смысле - знания о точных абстракциях. А что тогда такое нематематика?

Математика не содержит знаний о реальном мире, поэтому вопрос о выборе мат. модели решается вне рамок математики. Нпр., очень элегантная модель идеального газа для многих практических применений оказывается недостаточной. Но математика не может сказать, какая модель будет достаточной, а какая нет, какая физически/химически/биологически верной, а какая нет.

-- Чт окт 18, 2012 14:23:10 --

Ribocyte в сообщении #631618 писал(а):

bin в сообщении #631496 писал(а):

Т.о. с любой желаемой точностью спектр не измерить

Верно. Но разве кто-то утверждал, что с ЛЮБОЙ? Существует ли разница между "любой степенью точности", "степенью точности, намного превышающей таковую полученной классическими вычислениями"? Согласитесь, что последнее высказывание говорит немного о другом?

Не понял. Если спектр можно вычислить с любой точностью, даже с такой, с какой его нельзя измерить, то вот и принципиальная разница между вычислением и измерением.

-- Чт окт 18, 2012 14:30:57 --

Ribocyte в сообщении #631618 писал(а):

Вы не могли бы уточнить насколько "современные полуэмпирические методы" дают точное приближение к измеренным величинам? В этом-то и фишка.

Я не квантовик и точно сказать не могу, но предполагаю, что теоретически можно задаться любой точностью, просто вырастет число итераций при операциях с числами неограниченной размерности, и т.о. катастрофически возрастет время счета. Но нас ведь время не интересует.

-- Чт окт 18, 2012 14:42:38 --

Ribocyte в сообщении #631618 писал(а):

Это не проблема. Для любого доказательства в классическом смысле (но не в смысле квантовых вычислений) есть протокол, и алгоритмы распознавания того, является ли данный текст доказательством и что он доказывает.

Электроника слышит звук лучше человеческого уха и видит изображения лучше глаза, но задачи 100% распознавания речи и рукописного текста до сих пор остаются открытыми проблемами AI, со 100% вероятностью вычислить, т.е. доказать, не получается

-- Чт окт 18, 2012 14:52:39 --

epros в сообщении #631513 писал(а):

Весь вопрос в таком случае о том, что следует считать «разумным».

Думаю, полный перебор машиной всех конечных текстов для поиска доказательства, в то время как математик как-то ухитряется найти требуемое доказательство не прибегая к такому перебору, не стоит считать разумным.

[bin]

PS Еще одно соображение о смысловой разнице между измерением и доказательством-"вычислением". Доказательство не нуждается в объяснении. Нпр., вопрос о том, почему число $\pi$ начинается с 3.14..., а не с 3.15... , не выглядит осмысленным. А вот измерения валентных углов С-С связей циклопропана и его устойчивости нуждается в обстоятельном объяснении (банановая связь, делающая молекулу ненапряженной).

[Ribocyte]

bin в сообщении #632416 писал(а):

Математика не содержит знаний о реальном мире, поэтому вопрос о выборе мат. модели решается вне рамок математики. Нпр., очень элегантная модель идеального газа для многих практических применений оказывается недостаточной. Но математика не может сказать, какая модель будет достаточной, а какая нет, какая физически/химически/биологически верной, а какая нет.

В целом, я согласен с Вами. Один ньюанс - очень опасно употреблять столь скользкое выражение, как "реальныый мир", если его при этом никак не уточнять. Дело в том, что у этого понятия может быть множество трактовок, под которые также могут попасть и математические абстракции.
Например, один из распространенных подходов к тому, что есть реальный мир - то, знания о чём получаются эмпирическим путем. Если трактовать в таком широком смысле, то математика тоже дает знания о реальном мире, поскольку наши знания об абстракциях, подобно знаниям о физическом мире получаются эмпирическим путем (см. несколько ближайших моих постов здесь).
Однако подозреваю, что Вы подразумевали не эту трактовку, а свели её исключительно к тому миру, который мы обозначаем физическим.

-- 18.10.2012, 19:41 --

В рамках такой трактовке согласен с каждым Вашим словом.

-- 18.10.2012, 19:42 --

Математика и правда не дает знаний о физическом мире, хотя знания об абстракциях получаются эмпирическим путем, даже не смотря на то, что мы их сами выдумали. Такой вот парадокс.

-- 18.10.2012, 19:45 --

bin в сообщении #632416 писал(а):

Если спектр можно вычислить с любой точностью, даже с такой, с какой его нельзя измерить, то вот и принципиальная разница между вычислением и измерением.

Выше я уже НЕОДНОКРАТНО писал, что его НЕЛЬЗЯ и все тут вычислить с любой степенью точности.
Равно как нельзя вычислить с любой степенью точности поведение сложной динамической системы в условиях классического хаоса.
Здесь источник БОЛЕЕ ТОЧНОГО знания - физическое измерение отличное от того, которое мы получаем манипуляциями нумеруемыми физическими объектами (вычислением на компьютере, например)

-- 18.10.2012, 19:46 --

bin в сообщении #632416 писал(а):

Но нас ведь время не интересует.

Вас интересует результат, который для многих физических систем Вы возможно НИКОГДА не сможете получить никакими классическими компьютерами.

-- 18.10.2012, 19:48 --

Говоря об эмпирике в разных аспектах, я лишь говорю об источнике получения знаний. И опять мантра: Эмпирика дает знания не только о физическом мире, но и об абстракциях, при одном важном условии - доверии той абстрактной модели, которая описывае явления.

-- 18.10.2012, 19:51 --

bin в сообщении #632416 писал(а):

Электроника слышит звук лучше человеческого уха и видит изображения лучше глаза, но задачи 100% распознавания речи и рукописного текста до сих пор остаются открытыми проблемами AI, со 100% вероятностью вычислить, т.е. доказать, не получается

Согласен, что возможно компьютеры различают и будут различать правильность протокола ЛУЧШЕ человека. Однако речь шла о том, что в ряде случаев Вы просто В ПРИНЦИПЕ не сможете получить протокола ввиду принципиальной невозможности этого. Квантовые вычисления это допускают. А это - уже ДРУГАЯ ситуация, где мы протокол не сможем проверить уже ни человеком, ни комьютером.

-- 18.10.2012, 19:55 --

bin в сообщении #632447 писал(а):

Доказательство не нуждается в объяснении. Нпр., вопрос о том, почему число начинается с 3.14..., а не с 3.15... , не выглядит осмысленным. А вот измерения валентных углов С-С связей циклопропана и его устойчивости нуждается в обстоятельном объяснении (банановая связь, делающая молекулу ненапряженной).

Итог любого классического доказательства - текст. Результат - манипуляции с текстом.
Итог любого измерения - тоже текст. Результат - какого-то физического явления (в том числе быть может и манипуляции с текстом).
И там и там - нас не интересуют осмысления явлений, а только одно единственное - доверие к абстрактной модели, которая описывает эти манипуляции.
Вспомним, что машина Тьюринга, абаки и прочие уточнения понятия "алгоритм" - это по сути формулировка абстрактной модели какого-то вычисляющего устройства.
Этим устройством может быть человек, человек плюс кубик Рубика, компьютер и т.д. Но во всех случаях мы доверяем тому, что абстрактная модель вычисления адекватна реальному физическому явлению.
В случае других типов измерений ситуация аналогична.

[bin]

Ribocyte в сообщении #632477 писал(а):

Например, один из распространенных подходов к тому, что есть реальный мир - то, знания о чём получаются эмпирическим путем. Если трактовать в таком широком смысле, то математика тоже дает знания о реальном мире, поскольку наши знания об абстракциях, подобно знаниям о физическом мире получаются эмпирическим путем (см. несколько ближайших моих постов здесь).

Про это хорошо сказали Я. С. Бугров и С. М. Никольский в широко известном учебнике Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44:

Цитата:

Пространство $\mathbb{R}^n$, при $ n>3 $ является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях.

Т.е. математика работает с выдумкой, а не с реальным миром. ИМХО очень уместное предупреждение для студентов - чтобы не смели говорить, что четвертое измерение реального мира доказано математически. Сразу вспоминается Дж. Вейценбаум Возможности вычислительных машин и человеческий разум. От суждений к вычислениям. Пер. с англ. М., 1982, где автор издевается над обывателями, которые говорят, что Энштейн доказал, что все в мире относительно Однако я согласен, что в философском смысле слово "реальный" очень спорно, поэтому можно сказать "физический мир", имея в виду не только науку физику, но и химию, биологию, геологию и т.д. Т.е. в физическом-химическом-биологическом и т.д. мире.

Ribocyte в сообщении #632477 писал(а):

Выше я уже НЕОДНОКРАТНО писал, что его НЕЛЬЗЯ и все тут вычислить с любой степенью точности. Равно как нельзя вычислить с любой степенью точности поведение сложной динамической системы в условиях классического хаоса. Здесь источник БОЛЕЕ ТОЧНОГО знания - физическое измерение отличное от того, которое мы получаем манипуляциями нумеруемыми физическими объектами (вычислением на компьютере, например)

Общепринятое мнение, что поведение молекулы полностью описывается уравнением Шредингера с учетом релятивистких поправок. А Вы считаете, что есть еще какие неучтенные торсионные поля?

[Ribocyte]

bin в сообщении #632559 писал(а):

Т.е. математика работает с выдумкой, а не с реальным миром.

Когда прочитал это, сразу вспомнил следующее рассуждение: "Я видел кого-то. Кто-то убил Авраама Линкольна. Значит, я видел убийцу Авраама Линкольна". Вы пытаетесь сделать вывод на основе ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЯ непротивопоставляемых сущностей: "быть выдумкой" и "быть реальным миром", приводя в качестве фетиша высказывание известных авторов учебника. Дело в том, что одно другому не противоречит. Дело в договорённостях.
Закономерности в ВЫДУМАННОМ абстрактном мире ТАКЖЕ ОБЪЕКТИВНЫ. И если придерживаться договорённости, что критерием реальности служит именно объективность и соответствие опыту, то математика ТАК ЖЕ РЕАЛЬНА.
Если же считать реальным только те явления, которые мы в силу нашего понимания и интуиции считаем физическим, то да, математика - НЕ РЕАЛЬНЫЙ мир. Дело в договорённостях. А делать выводы без уточнений - это просто игра слов наподобие игры с рассуждениями про убийцу Авраама Линкольна.

-- 19.10.2012, 09:16 --

bin в сообщении #632559 писал(а):

Общепринятое мнение, что поведение молекулы полностью описывается уравнением Шредингера с учетом релятивистких поправок. А Вы считаете, что есть еще какие неучтенные торсионные поля?

Непонятно, почему Вы сделали этот загадочный вывод на основе того, что я привёл ОБЩЕПРИНЯТОЕ представление о возможности рассчитать спектр молекулы классическими вычислительными средствами? Очень странно.

-- 19.10.2012, 09:17 --

bin в сообщении #632559 писал(а):

Т.е. математика работает с выдумкой, а не с реальным миром.

Да, математика работает с выдумкой, то есть договорённостями.

-- 19.10.2012, 09:17 --

bin в сообщении #632559 писал(а):

для студентов - чтобы не смели говорить, что четвертое измерение реального мира доказано математически.

Это, должно быть, очень уж неграмотные студенты, и скорее всего учащиеся не на математическом факультете. К таким фантазиям более склонны гумманитарии.

-- 19.10.2012, 09:18 --

bin в сообщении #632559 писал(а):

Однако я согласен, что в философском смысле слово "реальный" очень спорно, поэтому можно сказать "физический мир", имея в виду не только науку физику, но и химию, биологию, геологию и т.д. Т.е. в физическом-химическом-биологическом и т.д. мире.

И я согласен с этой мыслью.

[bin]

Ribocyte в сообщении #632701 писал(а):

bin в сообщении #632559 писал(а):

для студентов - чтобы не смели говорить, что четвертое измерение реального мира доказано математически.

Это, должно быть, очень уж неграмотные студенты, и скорее всего учащиеся не на математическом факультете. К таким фантазиям более склонны гумманитарии.

Не только гумманитарии:

Цитата:

В начале двадцатого века появились предположения, что Вселенная имеет больше измерений, чем наблюдаемые три пространственных и одно временное.Толчком к этому стала теория Калуцы — Клейна, которая позволяет увидеть, что введение в общую теорию относительности дополнительного измерения приводит к получению уравнений Максвелла. (Википедия: Теория всего)
На сегодняшний день множество ученых физиков-теоретиков по всему миру исследуют вопрос многомерности пространства. В середине 1990-х Эдвард Виттен и другие физики-теоретики обнаружили веские доказательства того, что различные суперструнные теории представляют собой различные предельные случаи неразработанной пока 11-мерной М-теории.(Википедия: Старшие размерности)

[Ribocyte]

bin в сообщении #632721 писал(а):

На сегодняшний день множество ученых физиков-теоретиков по всему миру исследуют вопрос многомерности пространства. В середине 1990-х Эдвард Виттен и другие физики-теоретики обнаружили веские доказательства того, что различные суперструнные теории представляют собой различные предельные случаи неразработанной пока 11-мерной М-теории.(Википедия: Старшие размерности)

Так и есть. Только многомерность доказывает не математика, а соответствие эмпирики математической модели. Но это ведь не то же самое, что "математика доказывает многомерность мира", не так ли?
В общем, буду ждать новых идей на форуме и попутно и далее "образовываться".