Аксиомы "не математики"

[Lukin]

Цитата:

Прежде всего, чтобы говорить об абстрактной конструкции, Вы должны иметь эту конструкцию, то есть, заранее её построить. Затем Вы должны придумать физическую интерпретацию этой конструкции.
Откуда у Вас есть уверенность, что интерпретация адекватна? А, ну да, Вы же, с одной стороны, провели кучу опытов, а с другой - досконально исследовали свою абстрактную конструкцию математическими методами, сравнили результаты опытов с результатами. И всё хорошо согласуется.
Но Вам не хочется возиться с математикой. Вы предпочитаете ставить опыты и измерять. И считаете, что этого достаточно. Вот Вы что-то такое новое намерили, и, согласно своей интерпретации, получили новое знание о своей абстрактной конструкции.
Вы уверены? Может быть, попробуем всё-таки воспользоваться математикой? Для проверки, хотя бы.

Похоже на один из критериев "не математики" - измерение, вместо вычислений. Хотя, если подумать, измерение тоже разновидность вычисления. Скажем, нужно измерить периметр квадрата. Это можно сделать по разному: измерить одну сторону и умножить на четыре, последовательно сложить длину каждой стороны, "распрямить" квадрат и померить всю длину разом. Если длинна стороны дана в виде числа, вычислением будет запись на бумаге или последовательность нажатий кнопок на калькуляторе, а измерением - начертание линейкой. В последнем случае, действительно возможно появление результата измерений отличного от результата вычислений.

Цитата:

А вдруг Вас ждёт сюрприз, и в этом месте Ваша физическая модель не адекватна? Это, знаете ли, сплошь и рядом случается.

А почему именно физическая модель не адекватна, может быть она то как раз все правильно "вычисляет", а математические "истины" не верны ? Скажем, аксиома индукции. Возьмем любую физическую систему из однородных элементов и будем проверять ее свойства, последовательно добавляя элементы. В какой-то момент свойства изменятся, а аксиома индукции говорит, что этого не произойдет. Почему бы не считать не адекватной действительности аксиому индукции, а не все возможные физические модели ?

[Ribocyte]

Lukin в сообщении #631477 писал(а):

Хотя, если подумать, измерение тоже разновидность вычисления

Золотые слова. Очень рад взаимопониманию.
Мысль мне видится достаточно глубокой. И там, и там - на выходе всегда символика.
Отличие в том, что при измерении мы можем получать статистический результат, а в случае с классическим вычислением - детерминированный, хотя и ТОЖЕ в известной степени идеализации (любой компьютер, голова человека или другое вычисляющее устройство может дать сбой).

-- 16.10.2012, 10:43 --

Lukin в сообщении #631477 писал(а):

В последнем случае, действительно возможно появление результата измерений отличного от результата вычислений.

Вы верно заметили.
Очень странно, когда спорят, в общем-то, против достаточно очевидных вещей.

-- 16.10.2012, 10:44 --

Lukin в сообщении #631477 писал(а):

А почему именно физическая модель не адекватна, может быть она то как раз все правильно "вычисляет", а математические "истины" не верны ?

Добавлю для полноты. А почему именно квантовая или какая-то другая модель не так адекватна, как модель, связанная с манипулированием нумеруемыми дискретными макрообъектами?

-- 16.10.2012, 10:48 --

Lukin в сообщении #631477 писал(а):

Похоже на один из критериев "не математики" - измерение, вместо вычислений.

А кто нам мешает её считать тоже критерием поиска математических истин? Так ведь уже было в истории, начиная с геометрии? Конечно, нужно признать, что бОЛьшей частью экспериментирование, отличное от логического рассуждения, в математике происходило при манипулировании нумеруемыми дескретностями. Так, в основном, и находили какие-то закономерности, ставшие гипотезами. Но ведь экспериментирование с "камешками на песке" - это просто простейший инструментарий для измерений параметров (число камешков, например). А абгрейд нашего инструментария произошёл в истории человечество совсем недавно.
И ведь манипулировали уже не только с дискретностями. Я писал, что известны примеры манипулирований и геометрическими объектами и даже с электрическими токами (Риман), которые приводили не только к развитию элементарной геометрии, но и топологии.
Кто знает, к чему может привести и дальнейший поиск абстрактных истин манипулированием не только с нумеруемыми дискретностями (пусть будет такое УСЛОВНОЕ обозначение).
Я не вижу принципиальных причин доверять гигантским доказательствам на компьютерах в бОльшей степени, нежели результатам, полученным в результате измерений - в обоих случаях возможен сбой и неадекватность модели. Лишь проверками и сверками мы можем все более убеждаться в достоверности полученных АБСТРАКТНЫХ истин.

[bin]

Someone в сообщении #631445 писал(а):

bin в сообщении #631093 писал(а):

Как, нпр., с помощью вычислений доказать, что отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная?

Евклидова геометрия - разрешимая теория. Существует алгоритм, придуманный Тарским в 1948 году, который для любого утверждения евклидовой геометрии за конечное время определяет, доказуемо оно или нет. (читая тему дальше, обнаружил, что об этом уже говорили.)

Уверены, что для строгого док-ва достаточно элементарной геометрии? См. например http://dxdy.ru/topic61289.html Но ранее я уже сказал:

bin в сообщении #631178 писал(а):

Оставим в покое геометрию.

М.б. стоило привести более сложный пример, где доказательные вычисления на современном уровне знаний неприменимы. Уверен, что такой пример возможен.

-- Вт окт 16, 2012 09:25:01 --

Ribocyte в сообщении #631450 писал(а):

Возвращаясь к математической модели, описывающей спектр излучения молекулы. Вся эмпирика говорит в настоящее время о том, что для значительной части многоатомных систем нет оснований сомневаться в точности задания условий. Проблема именно в вычислении. Это - довольно старая проблема. Можете спросить у профессиональных химиков.

Любой профессиональный химик скажет, что каждый прибор имеет конечную точность измерения. Т.о. с любой желаемой точностью спектр не измерить. В то же время с помощью расчетов в принципе можно посчитать с любой желаемой точностью. Вы хотели глицин? Это довольно простая молекула, современные полуэмпирические методы квантовой химии довольно легко с такими справляются.

-- Вт окт 16, 2012 09:35:27 --

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Давайте не будем путать измерение с вычислением. Физические измерения не дают знаний об абстрактном мире.

А как быть с АВМ (аналоговая вычислительная машина)? Там строится электронная схема из операционных усилителей и с помощью вольтметра измеряется напряжение на ее выходе. Так до цифровых машин диффуры решали. А еще были гибридные машины (цифровая+аналоговая).

[Lukin]

Цитата:

Но ведь экспериментирование с "камешками на песке" - это просто простейший инструментарий для измерений параметров (число камешков, например).

Вот и я спрашиваю, в чем принципиальная разница между перекладыванием камешков на песке и перестановкой символов на бумаге ? А если камушки сами двигаются, а мы за ними просто наблюдаем, как, например, за поведением "битов" в компьютере, что мешает принять, как факт, существование теории, моделью которой они и являются. Иногда их "вычисления" мы можем повторить на другом носителе (на бумаге или в голове), иногда нет. Иногда поведение "символов на бумаге" не соответствует поведению камешков на песке, следует ли считать, что камушки "врут", а на бумаге записаны "вечные" истины ?
Или различные аксиомы бесконечности, некоторые физические системы вполне адекватны некоторым "нестандартным" аксиомам бесконечности.
Та же аксиома индукции, теория с ее отрицанием будет ли математикой ?

[bin]

Ribocyte в сообщении #631478 писал(а):

любой компьютер, голова человека или другое вычисляющее устройство может дать сбой

Компьютер почти не дает сбоев и обеспечивает отличную воспроизводимость, голова человека очень часто ошибается при сложных вычислениях. И при повторе та же ошибка может воспроизводиться - такая психологическая закономерность. В этом важное принципиальное отличие головы от компа. Это отличие не единственное...

[epros]

bin в сообщении #631496 писал(а):

М.б. стоило привести более сложный пример, где доказательные вычисления на современном уровне знаний неприменимы. Уверен, что такой пример возможен.

Пример чего? Доказуемого, но невычислимого утверждения? Вам же сказали уже, что этого быть не может, ибо доказательство - это конечная последовательность конечных строк, значит если доказательство существует, то тупым перебором по очереди оно может быть найдено, т.е. "вычислено".

[bin]

epros в сообщении #631506 писал(а):

Вам же сказали уже, что этого быть не может, ибо доказательство - это конечная последовательность конечных строк, значит если доказательство существует, то тупым перебором по очереди оно может быть найдено, т.е. "вычислено".

Если посадить мартышек за пишущие машинки, то есть вероятность, что через миллионы лет они настучат два тома Фихтенгольца. При стремлении времени (или числа мартышек) к бесконечности эта вероятность стремится к единице Спор ИМХО о других, более разумных методах. И как в случае полного перебора мы поймем, что наконец получен верный результат?

[epros]

Хотя, если подумать, то возможны разные интерпретации этого факта. А именно, отличаются классическая и конструктивная интерпретации (хотя окончательные выводы совпадают: всё доказуемое вычислимо).

В классической интерпретации возможно мета-доказательство (в неконструктивной метатеории) «чистого существования» доказательства. Например, если рассмотреть пример невычислимой функции busy beaver $\Sigma(n)$, то уже для $n = 5$ её значение неизвестно. Однако есть неконструктивное доказательство существования и единственности её значения. Но это не означает, что $\Sigma(5)$ невычислимо. Как раз классический анализ утверждает, что оно - вычислимо (хотя никто пока не смог его вычислить).

Интерпретация конструктивного анализа отличается. Конструктивный анализ не признаёт доказательств «чистого существования», поэтому вывод о существовании $\Sigma(5)$ с его точки зрения нелегитимен. Таким образом, конструктивный анализ не только не утверждает вычислимость $\Sigma(5)$, он также не утверждает и доказуемость его существования.

Как видите, ни в той, ни в другой интерпретации не получается так, чтобы нечто доказуемое оказалось невычислимым.

-- Вт окт 16, 2012 11:14:29 --

bin в сообщении #631512 писал(а):

Спор ИМХО о других, более разумных методах.

Весь вопрос в таком случае о том, что следует считать «разумным». По-моему, этому нет однозначного определения. Вы можете считать разумным, что человечество рано или поздно вычислит $\Sigma(5)$, а я могу считать разумным, что человечество никогда не сможет его вычислить.

[Lukin]

epros в сообщении #631513 писал(а):

Как видите, ни в той, ни в другой интерпретации не получается так, чтобы нечто доказуемое оказалось невычислимым.

А как же несчетные множества ?

[Someone]

А что "несчётные множества"?

[Ribocyte]

bin в сообщении #631496 писал(а):

Т.о. с любой желаемой точностью спектр не измерить

Верно. Но разве кто-то утверждал, что с ЛЮБОЙ? Существует ли разница между "любой степенью точности", "степенью точности, намного превышающей таковую полученной классическими вычислениями"? Согласитесь, что последнее высказывание говорит немного о другом?

-- 16.10.2012, 17:58 --

bin в сообщении #631496 писал(а):

Это довольно простая молекула, современные полуэмпирические методы квантовой химии довольно легко с такими справляются.

Вы не могли бы уточнить насколько "современные полуэмпирические методы" дают точное приближение к измеренным величинам? В этом-то и фишка.

-- 16.10.2012, 17:59 --

bin в сообщении #631496 писал(а):

А как быть с АВМ (аналоговая вычислительная машина)?

Согласен. Это - только один из многочисленных примеров (целый ряд их приводил)

-- 16.10.2012, 18:02 --

bin в сообщении #631512 писал(а):

И как в случае полного перебора мы поймем, что наконец получен верный результат?

Это не проблема. Для любого доказательства в классическом смысле (но не в смысле квантовых вычислений) есть протокол, и алгоритмы распознавания того, является ли данный текст доказательством и что он доказывает.

[Lukin]

Someone в сообщении #631573 писал(а):

А что "несчётные множества"?

Ну, доказательсвто существования есть, а алгоритма построения нет и, по определению (несчетного множества и алгоритма), не может быть. Нет ?

[epros]

Lukin в сообщении #631647 писал(а):

доказательсвто существования есть, а алгоритма построения нет

Алгоритм построения чего? Если речь об алгоритме построения доказательства существования, то он есть.

[Lukin]

Это понятно.
Просто Вы так непринужденно перешли от "все доказуемое вычислимо" к эквивалентности доказательства существования числа $\Sigma (5)$ и существования алгоритма его вычисления. В классическом случае, несчетные множества, как раз контрпример к этому, если под вычислимостью понимать алгоритмическое построение множества.

[epros]

Lukin в сообщении #631663 писал(а):

Просто Вы так непринужденно перешли от "все доказуемое вычислимо" к эквивалентности доказательства существования числа $\Sigma (5)$ и существования алгоритма его вычисления.

Что касается конструктивного анализа, то он других доказательств существования и не признаёт (по идее). А классическому анализу алгоритм вычисления не нужен, достаточно доказать существование и единственность натурального числа, чтобы можно было утверждать, что оно вычислимо.

Может быть Вы хотели сказать, что существование и единственность действительного числа с точки зрения классического анализа не означают его вычислимости? Да, это так. Но речь-то была о "невычислимости" доказательства некоего утверждения. Какого?