МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 2012 г. (28 октября, 9.00-13.00)
ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.
1. Трёхгранный честный волчок, грани которого помечены цифрами
, крутят
раз. Какова вероятность того, что сумма всех цифр на выпавших гранях окажется чётной?
2. Найти все значения параметра
, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
3. Вестовой стоит на берегу реки шириной 200 метров прямо напротив того места, куда ему надо доставить донесение. Он может передвигаться пешком со скоростью 5 км/час и плыть в стоячей воде со скоростью 1 км/час, скорость течения реки 1 км/час. Срочность донесения такова, что счёт идёт на секунды. Как скоро вестовой сможет доставить донесение?
Примечание. Вестовой - одноногий инвалид и даже с учётом срочности донесения не может прибавить в скорости ни в воде ни на суше.
4. Различные корни уравнения четвёртой степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным единице располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого квадрата. Определить наименьшую возможную площадь такого квадрата.
5. Некоторой группировкой членов вещественного ряда
с условием
получили сходящийся ряд. Докажите, что суммы сходящихся рядов, полученных группировками, образуют промежуток.
ДЛЯ ПЕРВОКУРСНИКОВ
П1. Сумма квадратов двух натуральных чисел делится без остатка на
. Докажите, что каждое из этих чисел делится без остатка на
.
П2. Найти все действительные решения уравнения
П3. Найти все корни уравнения
, если известно, что какие-то два из них различаются на
П4. Окружность касается прямой
в точке
и пересекается с прямой
в точках
и
Биссектриса угла
пересекает
и
в точках
и
Докажите, что треугольник
равнобедренный.
П5. Вычислите предел
ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.
Н1. Вася Пупкин перемножал две матрицы и получил в результате матрицу
. При перемножении этих же матриц в другом порядке он получил матрицу
.
Докажите, что Вася где-то ошибся.
Н2. Определить все действительные значения параметра
, при каждом из которых уравнение
имеет три различных действительных корня.
Н3. Для комплексного
, удовлетворяющего неравенству
, определите наименьшее и наибольшее значение выражения
.
Н4. Найдите сумму ряда
Н5. Вычислите предел