ОЛИМПИАДА НГУ

[neo66]

ewert писал(а):

neo66 писал(а):

Докажем сначала такое утверждение: Если $a$ и $b$ - квадратные матрицы и $ab=1$, то и $ba=1$.

Видите ли, это утверждение верно не только для алгебры матриц, но и для любой конечномерной алгебры на полем (и даже, кажется, над кольцом). Кроме того, не вижу ничего ужасного в аннулирующем многочлене. Его существование простой и фундаментальный факт. А, что, вы своих студентов этому не учите? Это им не нужно? По-моему, если можно посмотреть на некий факт с более общей и проясняющей суть дела точки зрения, то так и следует поступать. Но это, конечно выбор каждого.

Кроме того, даже для матриц оно не очевидно (по крайней мере для меня оно очевидно не было, так, что считайте, что я его доказал исключительно для себя). Понятно, что можно доказывать его многими способами. Но чем возня с матрицами и определителями лучше, не понимаю. Впрочем, это дело вкуса.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #630663 писал(а):

Из всего этого неочевидной кажется только задача 1 для 1-го курса. По-моему, в прошлом году сложнее было.

bot в сообщении #630669 писал(а):

Что поделаешь - уровень падает.

(Оффтоп)

Что верно, то верно. Кое-где он падает настолько, что дальше уже и падать некуда. Вот пример:

Сколькими способами можно переставить буквы слова "логарифм" так, чтобы второе, четвёртое и шестое места были заняты согласными буквами? (взято отсюда)
Я уже молчу о том, что согласных букв не бывает, бывают согласные звуки. Бог с ним!
Но ведь задача-то для второго курса. А её достаточно подготовленный пятиклассник щёлкнет и не подавится (даже если он понятия не имеет, что такое "логарифм" ).

[TOTAL]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #631661 писал(а):

Я уже молчу о том, что согласных букв не бывает, бывают согласные звуки.

Загляните в СЛОВАРЬ РУССКОГО ЯЗЫКА С.И. Ожегова, можно молча.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #631678 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #631661 писал(а):

Я уже молчу о том, что согласных букв не бывает, бывают согласные звуки.

Загляните в СЛОВАРЬ РУССКОГО ЯЗЫКА С.И. Ожегова, можно молча.

(Оффтоп)

Да? А букву "е" Вы к каким отнесёте -- к гласным или к согласным? Она ведь может обозначать сразу два звука -- согласный звук "й" и гласный звук "э" (например, первая буква в слове "Кацечка" "Екатерина").

[TOTAL]

Ktina в сообщении #631689 писал(а):

TOTAL в сообщении #631678 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #631661 писал(а):

Я уже молчу о том, что согласных букв не бывает, бывают согласные звуки.

Загляните в СЛОВАРЬ РУССКОГО ЯЗЫКА С.И. Ожегова, можно молча.

(Оффтоп)

Да? А букву "е" Вы к каким отнесёте -- к гласным или к согласным? Она ведь может обозначать сразу два звука -- согласный звук "й" и гласный звук "э" (например, первая буква в слове "Кацечка" "Екатерина").

(Оффтоп)

Куда бы я её ни отнёс, согласными бывают буквы и звуки.

[Shadow]

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #631692 писал(а):

Куда бы я её ни отнёс, согласными бывают буквы и звуки.

и девушки

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #631689 писал(а):

А букву "е" Вы к каким отнесёте -- к гласным или к согласным?

К гласным.
Впрочем, ценители могут сказать, что не к гласным, а к "буквам, использующимся для передачи гласных". Если хочется придраться, место всегда найдётся.

[TOTAL]

Shadow в сообщении #631706 писал(а):

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #631692 писал(а):

Куда бы я её ни отнёс, согласными бывают буквы и звуки.

и девушки

(Оффтоп)

Осторожно, среди согласных встречаются шипящие!

[Toucan]

Большая просьба закончить оффтоп.

[ewert]

neo66 в [url=http://dxdy.ru/post631628.html#pъъънън631628]сообщении #631628[/url] писал(а):

но и для любой конечномерной алгебры на полем (и даже, кажется, над кольцом). Кроме того, не вижу ничего ужасного в аннулирующем многочлене. Его существование простой и фундаментальный факт. А, что, вы своих студентов этому не учите?

Нет, разумеется. Это же первосеместровая задачка. Какие, прости господи, "конечномерные алгебры", какие аннулирующие многочлены, какие вообще собственные числа и что это вообще за изыски (да и поля они если учат -- а учат далеко не все специальности -- то уже в следующем семестре)?... Это же факт из самых базовых понятий самой что ни на есть примитивной линейной алгебры.

Я сослался на метод Гаусса лишь потому, что он как раз и является одним из таких примитивов безусловно первосеместрового уровня. Это потому, что лень было думать. Фактически же утверждение сразу следует из того, что при $AB=I$ образ матрицы $B$ никак не может быть меньше всего пространства.

[neo66]

ewert в сообщении #631769 писал(а):

Фактически же утверждение сразу следует из того, что при $AB=I$ образ матрицы $B$ никак не может быть меньше всего пространства.

Вот это правильно!

[ewert]

(Оффтоп)

neo66 в сообщении #631785 писал(а):

Вот это правильно!

Да, но это не требует никаких продвинутых понятий: ни каких-то загадочных "алгебр", ни тем более кого-то "аннулирующего". Единственное понятие из числа на этот момент преждевременных -- это "образ матрицы". Но соответствующие выкладки легко и без особых потерь проводятся и без него, достаточно обойтись лишь понятиями линейной зависимости и базиса, которые на этот момент уж точно есть.

----------------------------------------------------------------------------------
Да, и спасибо, что Вы натолкнули меня на мысль об этом подумать. Я всегда вопрос об эквивалентности лево- и правообратности (в квадратном случае) гордо игнорировал: мол, если уж она есть, то какой смысл разводить "ту же жижу пожиже".

Однако же вот фиксация этого факта позволяет ограничиться проверкой лишь одного соотношения вместо двух. Что вроде как экономит время.

Но это ещё как посмотреть. Скажем, при проверке формулы для обратной матрицы методически полезно проверить именно оба соотношения -- просто для осознания того факта, что в одном случае дело сводится к разложению определителя по строкам, в другом же -- по столбцам.

Так что палка тут о разных концах. Но что Вы обратили моё внимание на эту палку -- то спасибо.

[bot]

МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 2012 г. (28 октября, 9.00-13.00)

ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.

1. Трёхгранный честный волчок, грани которого помечены цифрами $1, 2, 3$, крутят $n$ раз. Какова вероятность того, что сумма всех цифр на выпавших гранях окажется чётной?

2. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\cos ax^2+2\sin^2\left(x-\dfrac12\right)=ax^2+2x$$

имеет единственное решение.

3. Вестовой стоит на берегу реки шириной 200 метров прямо напротив того места, куда ему надо доставить донесение. Он может передвигаться пешком со скоростью 5 км/час и плыть в стоячей воде со скоростью 1 км/час, скорость течения реки 1 км/час. Срочность донесения такова, что счёт идёт на секунды. Как скоро вестовой сможет доставить донесение?

Примечание. Вестовой - одноногий инвалид и даже с учётом срочности донесения не может прибавить в скорости ни в воде ни на суше.

4. Различные корни уравнения четвёртой степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным единице располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого квадрата. Определить наименьшую возможную площадь такого квадрата.

5. Некоторой группировкой членов вещественного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ с условием $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ получили сходящийся ряд. Докажите, что суммы сходящихся рядов, полученных группировками, образуют промежуток.

ДЛЯ ПЕРВОКУРСНИКОВ

П1. Сумма квадратов двух натуральных чисел делится без остатка на $11$. Докажите, что каждое из этих чисел делится без остатка на $11$.

П2. Найти все действительные решения уравнения

$$\frac{x^2-2x+2}{3x^2-10x+6}+\frac{3x}{x^2+2}=1$$

П3. Найти все корни уравнения $\sin 3x=a\,\, (a>0)$, если известно, что какие-то два из них различаются на $\frac{\pi}{4}.$

П4. Окружность касается прямой $AB$ в точке $B$ и пересекается с прямой $AD$ в точках $C$ и $D.$
Биссектриса угла $BAD$ пересекает $BC$ и $BD$ в точках $E$ и $F.$ Докажите, что треугольник $FBE$ равнобедренный.

П5. Вычислите предел

$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1\cdot 1!+2\cdot 2!+\ldots +n\cdot n!}{(n+1)!}.$$

ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.

Н1. Вася Пупкин перемножал две матрицы и получил в результате матрицу $2\times2$. При перемножении этих же матриц в другом порядке он получил матрицу
$\begin{pmatrix}1&0&1&2\\ 0&1&3&5\\ -5&2&1&0\\ 3&1&0&-1\\ \end{pmatrix}$.
Докажите, что Вася где-то ошибся.

Н2. Определить все действительные значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение $x^3+qx^2+4=0$ имеет три различных действительных корня.

Н3. Для комплексного $z$, удовлетворяющего неравенству $|z|\leqslant 2$, определите наименьшее и наибольшее значение выражения $|z^2-5|$.

Н4. Найдите сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n(n+4)}$

Н5. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac {\left(1+\frac1n\right)^n }{e}\right)^n.$

[TOTAL]

bot в сообщении #636775 писал(а):

Примечание. Вестовой - одноногий инвалид и даже с учётом срочности донесения не может прибавить в скорости ни в воде ни на суше.

Может. Он может дошвырнуть донесение до противоположного берега за 852 сек.

[DjD USB]

П1. Квадраты при делении на 11 дают остатки 0,1,3,4,5,9. Т.к. сумма двух квадратов делится на 11 то очевидно оба числа делятся на 11.

-- Вс окт 28, 2012 13:07:12 --

П5. По моему это равнсильно таму же пределу выражения $\frac{n\cdotn!}{(n+1)!}=1-\frac{1}{n+1}$ А это выражение стремится к 1 при n стремящемся к бессконечности. Верно?