Вопрос про оценку среднеквадратич. отклонения

[Andrei94]

Что подразумевается под выборочным среднеквадратичным отклонением - корень из смещенной оценки дисперсии или несмещенной ? Чем отличаются стандартное и среднеквадратичное отклонения?

1) $s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}$

2) $s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}$

Всегда ли под $s$ подразумевается какой-то конкретный из двух предложенных вариантов?

[--mS--]

Об этом надо спрашивать тех, кто употребляет подобные термины. Каждый раз спрашивать. Всё равно ни то ни другое не будет несмещённой оценкой для корня из истинной дисперсии. "Стандартное" и "среднеквадратичное" - одно и то же.

[Andrei94]

--mS-- в сообщении #630126 писал(а):

Об этом надо спрашивать тех, кто употребляет подобные термины. Каждый раз спрашивать. Всё равно ни то ни другое не будет несмещённой оценкой для корня из истинной дисперсии. "Стандартное" и "среднеквадратичное" - одно и то же.

Спасибо, а здесь что именно $s$? $\mathbb{P}\left( \bar{X} - t_{\frac{1-\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{\frac{1-\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = \alpha$

[--mS--]

Второе - корень из несмещённой выборочной дисперсии. Потому что для нормальной выборки величина $\sqrt{n}\dfrac{\overline x - \mu}{\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\overline x)^2}}$ имеет распределение Стьюдента с $n-1$ степенью свободы.

Можно из обычной, но тогда в интервале вместо $\sqrt{n}$ появится $\sqrt{n-1}$.

[Евгений Машеров]

Как правило, берут корень из несмещённой оценки дисперсии (оценка СКО получается при этом смещённой, но величина смещения мала и, во всяком случае, меньше, чем если бы брать корень из смещённой). В принципе избавиться от смещения можно методом "складного ножа", но польза при этом столь мала, а трудности велики, что этим никто не занимается.
Слова "стандартное отклонение" иногда употребляется, как краткий синоним "среднеквадратичного отклонения", но некоторые авторы употребляют его, имея в виду "стандартное отклонение для среднего", которое в $\sqrt n$ меньше. Поэтому надо внимательно следить за тем, что они имеют в виду.