докажите, что группы, порядок которых есть квадрат простого числа, коммутативны!
Это не сложно, вроде бы

.Пусть

- не циклическая группа порядка

(если циклическая то все ясно). Т.к. всякая

-группа имеет нетривиальный центр, то

или

. Если

, то всё хорошо. Пусть

. Буду действовать

на себя сопряжениями. Положим, что

, тогда

и

, но это означает, что

, откуда

. Противоречие.
Только вот это всё можно было сказать и упоминая всех этих орбитов и стабилизаторов. ИМХО этот язык действий какой-то бесполезный и лишь создаёт путаницу. Ведь и 4 теоремы Силова можно было доказывать без всяких там действий, а просто определив понятие двойного смежного класса

. Поправьте, если я ошибаюсь.