Теорема Силова о существовании силовских подгрупп

[xmaister]

То что в каждой группе конечного порядка $m$, т.ч. $p|m$- простое, существует силовская $p$-подгруппа доказывается, действую $G$ на $G$ сопряжениями и потом используется формула классов. Я хочу понять, насколько может быть полезно в "народном хозяйстве" действие $G$ на $G$ или на $G/H$, $H\subset G$- подгруппа, не обязательно нормальная, левыми сдвигами. Я пытался доказать так, что существуют силовские $p$-подгруппы. Пусть $H\subset G$- подгруппа, т.ч. $p^n\ne |\sharp H$ и $p^n|\sharp G$ и, если записать $(G:1)=\sum (G:G_{xH})$ то не понятно, что отсюда можно достать...

[Chernoknizhnik]

Вот есть простой пример применения формулы классов: допустим известно, что порядок группы, а также индекс каждой собственной подгруппы делится на некоторое число p (например, в p-группе это так!). Тогда, конечно же, порядок почти каждого класса сопряженности делится на p как индекс стабилизатора (если стабилизатор какого-то элемента совпадает со всей группой, то этот элемент центральный, т.е. коммутирует со всеми). Если в формуле классов в правой части отдельно выписать индексы стабилизаторов центральных элементов (а они равны 1), то мы получим, что порядок центра группы (т.е. количество одноточечных орбит) должно делиться на p. В частности, центр p-группы неединичен. Вот такая задача еще есть: докажите, что группы, порядок которых есть квадрат простого числа, коммутативны!

[xmaister]

Chernoknizhnik в сообщении #630074 писал(а):

докажите, что группы, порядок которых есть квадрат простого числа, коммутативны!

Это не сложно, вроде бы .Пусть $G$- не циклическая группа порядка $p^2$ (если циклическая то все ясно). Т.к. всякая $p$-группа имеет нетривиальный центр, то $\sharp Z=p$ или $\sharp Z=p^2$. Если $\sharp Z=p^2$, то всё хорошо. Пусть $\sharp Z=p$. Буду действовать $G$ на себя сопряжениями. Положим, что $y\not\in Z$, тогда $y\in\mathrm{St}(y)$ и $Z\subset\mathrm{St}(y)$, но это означает, что $\mathrm{St}(y)=G$, откуда $y\in Z$. Противоречие.
Только вот это всё можно было сказать и упоминая всех этих орбитов и стабилизаторов. ИМХО этот язык действий какой-то бесполезный и лишь создаёт путаницу. Ведь и 4 теоремы Силова можно было доказывать без всяких там действий, а просто определив понятие двойного смежного класса $aHb$. Поправьте, если я ошибаюсь.

[Chernoknizhnik]

Наверное, просто надо привыкнуть к этому языку и он окажется естественным, а что касается доказательств теорем Силова без действий, то наверное, там скрыты те же действия, орбиты и т.п. Кроме того, с помощью действий как-то просто определяются понятия класса сопряженности, центра - универсальный довольно язык получается ведь. Ну и группы без действий-то не очень и интересны - зачем нужна группа изометрий плоскости, например, когда она сама по себе даже точки не двигает никуда!

[Sonic86]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #630185 писал(а):

ИМХО этот язык действий какой-то бесполезный и лишь создаёт путаницу.

А мне групповики тоже сказали, что действия - это естественнее (я им как раз через центры по Винбергу рассказывал) ну я не знаю...

[xmaister]

Chernoknizhnik в сообщении #630345 писал(а):

Наверное, просто надо привыкнуть к этому языку и он окажется естественным, а что касается доказательств теорем Силова без действий, то наверное, там скрыты те же действия, орбиты и т.п.

Я не заметил. Вот например, что всегда существует силовская $p$-подгруппа. $G=p^nq$, $q$ не делится на $p$, тогда будем иметь $p^nq=\sum_{i}\sharp Hx_iP$, где $\sharp Hx_iP=\frac{\sharp H\sharp P}{\sharp H\cap x_iPx_i^{-1}}$, откуда $q=\sum_{i}\frac{p^k}{\sharp H\cap x_iPx_i^{-1}}$ откуда, если $H$ не содержится ни в какой силовской $p$-подгруппе, то получим, чо $p|q$.

Хотя по сути, Вы правы. Все равно действие сопряжениями неявно прослеживается и формула классов тоже...