Категория морфизмов категории

[xmaister]

Пусть $\mathscr{A}$- некоторая категория и $\mathrm{Ar}(\mathscr{A})$- совокупность всех морфизмов $\mathscr{A}$. Для всех $f,f'\in\mathrm{Ar}(\mathscr{A})$ определим множество $\mathrm{Hom}(f,f')$ как всех пар вида $(\varphi,\psi )$ для которых диаграмма

$$\xymatrix{A\ar[d]_{\varphi}\ar[r]^{f}&B\ar[d]^{\psi}\\A'\ar[r]^{f'}&B'}$$

коммутативна. Разве мы не должны были определить морфизмы $\mathrm{Hom}(f,f')$, как множество всех упорядоченных пар $\langle\varphi,\psi \rangle$. Иначе же $\mathrm{Hom}(f,f')$ и $\mathrm{Hom}(f',f)$ будут пересекаться и соответственно аксиомы категории не выполнены. Даже не ясно в таком случае $\varphi\in\mathrm{Hom}(A,A')$ или $\varphi\in\mathrm{Hom}(B,B')$ Может очепятка?

[Руст]

Должны брать упорядоченную пару. Перепутаться они могут только в случае $A=B, A'=B'$, тогда и переставленное так же может (но это не факт) быть так же морфизмом. И то одновременное выполнение двух равенств $\psi f=f'\phi, \phi f=f'\psi$ приводит к $\psi =\phi$ и не станет путаницы.

[apriv]

Руст в сообщении #630218 писал(а):

одновременное выполнение двух равенств $\psi f=f'\phi, \phi f=f'\psi$ приводит к $\psi =\phi$

Это неверно.

[xmaister]

Все равно я туплю. Пусть $\mathrm{Hom}(f,f')=\mathrm{Hom}(g,g')$, где $f: A\to B$, $f': A'\to B'$, $g: C\to D$, $g': C'\to D'$. Тогда существуют такие $\langle \varphi ,\varphi '\rangle\in\mathrm{Hom}(f,f') $ и $\langle \psi,\psi '\rangle\in\mathrm{Hom}(g,g')$, что $\langle \varphi,\varphi '\rangle=\langle \psi,\psi '\rangle$ значит $\varphi=\psi, \varphi '=\psi '$, откуда $A=C,B=D,A'=C',B'=D'$. Это даёт, что для всех $\langle \varphi ,\varphi '\rangle\in\mathrm{Hom}(f,f') $ имеем $\varphi '\circ g=g'\circ\varphi\Leftrightarrow\varphi '\circ f=f'\circ\varphi$ и как отсюда следует, что $f=g,f'=g'$? Не понимаю

[apriv]

Вы занимаетесь какими-то странными рассуждениями. Понятно, что каждый морфизм в любой категории должен «помнить» свою область определения и область значений. Как это формализовать? Иногда говорят, что все $\mathrm{Hom}$ должны быть дизъюнктны — ну, хорошо; иногда говорят, что морфизм $f\colon A\to B$ — это тройка $(f,A,B)$. Тоже метод. После этого предлагается забыть об этих деталях и просто принять, что если вы берете какой-то морфизм, то Вы знаете, откуда и куда он действует. В Вашем случае с категорией морфизмов — ну, может быть, так получилось, что одну и ту же пару $(\phi,\psi)$ можно рассматривать и как морфизм из $f$ в $f'$, и как морфизм из $g$ в $g'$. И что? Никому от этого хуже не стало, вроде бы.

[xmaister]

apriv в сообщении #630258 писал(а):

Понятно, что каждый морфизм в любой категории должен «помнить» свою область определения и область значений.

Да, это я понимаю. Это же одна из аксиом категории. В теории множеств отображение $f:A\to B$ определяют как $\langle A,G_f,B\rangle$, $G_f$-график. Это тоже я понимаю. Если бы в категории $\mathscr{A}$ объектами были бы множествами с какой-то структурой то да, вопросов бы не возникло...

apriv в сообщении #630258 писал(а):

Иногда говорят, что все $\mathrm{Hom}$ должны быть дизъюнктны — ну, хорошо; иногда говорят, что морфизм $f\colon A\to B$ — это тройка $(f,A,B)$. Тоже метод.

Как понимать упорядоченную тройку $(f,A,B)$ где $A,B$- непонятно какие объекты непонятно какой категории?

apriv в сообщении #630258 писал(а):

После этого предлагается забыть об этих деталях и просто принять, что если вы берете какой-то морфизм, то Вы знаете, откуда и куда он действует. В Вашем случае с категорией морфизмов — ну, может быть, так получилось, что одну и ту же пару $(\phi,\psi)$ можно рассматривать и как морфизм из $f$ в $f'$, и как морфизм из $g$ в $g'$. И что? Никому от этого хуже не стало, вроде бы.

Так никакой категории морфизмов ещё нет, ну по крайней мере я не доказал, что моорфизмы образуют категорию.
Вот мне не ясно, почему $\mathscr{C}$ образует категорию.

[apriv]

xmaister в сообщении #630263 писал(а):

Вот мне не ясно, почему $\mathscr{C}$ образует категорию.

А почему не образует? Понятно, какие в ней объекты, понятно, какие морфизмы, композиция и тождественные морфизмы очевидны.

[Руст]

xmaister в сообщении #630263 писал(а):

Вот мне не ясно, почему $\mathscr{C}$ образует категорию.

Вы легко можете проверить выполнение аксиом теории категории для объекта $f:A\to B$ единичным морфизмом служит пара $(1_A,1_B)$, умножение и ассоциативность индуцируется из категории $\mathscr{A}$.
Раньше я хотел сказать "когда приводит", не найдя примера, когда приводит и $\phi \not =\psi$, опустил слово "когда".

[apriv]

apriv в сообщении #630229 писал(а):

одновременное выполнение двух равенств $\psi f=f'\phi, \phi f=f'\psi$ приводит к $\psi =\phi$

Контрпримеров сколько угодно: например, можно в абелевой категории взять нулевые $f$, $f'$ и любые $\phi$, $\psi$.

[xmaister]

apriv в сообщении #630270 писал(а):

композиция и тождественные морфизмы очевидны.

Да, очевидны. Мне не ясно как проверять, что если множество $\mathrm{Hom}(f,f')=\mathrm{Hom}(g,g')$ то $f=g,f'=g'$. Это же надо формально как-то проверить...

[apriv]

xmaister в сообщении #630284 писал(а):

Да, очевидны. Мне не ясно как проверять, что если множество $\mathrm{Hom}(f,f')=\mathrm{Hom}(g,g')$ то $f=g,f'=g'$. Это же надо формально как-то проверить...

Для этого там и написаны последние три строчки, в скобочках.

-- 13.10.2012, 14:35 --

То есть, как я писал выше, стоит к каждому морфизму $f\colon A\to B$ приписать $A$ и $B$ и рассматривать тройки $(f,A,B)$. На практике это всегда подразумевается, так что явно об этом даже и не говорят.

[xmaister]

apriv,Руст большое спасибо за помощь.

Получается, что и в теории множеств $f:A\to B$ определяют как тройку чтобы $(f,A,B)$ чтобы $\mathrm{Hom}$ были дизъюнктными. И тут также, рассмотрев тройки $((\varphi,\varphi '),f,f')$ тоже получим дизъюнктные $\mathrm{Hom}$ и, соответственно, категорию морфизмов $\mathscr{C}$.
Надеюсь, что я Вас правильно понял.