Да, а насчёт центра вписанной сферы можно так. Её радиус нам известен (через объём и площадь поверхности тетраэдра).
В (5) радиус впис. сферы
найден. При том без использованием формул об объем тетраэдра и площади его гранях. Если хотите можно выразить
и так. Пусть
высота, спущенная из i-ой вершине тетраэдра, а
площадь треугольника с вершинами
,
и
, находящимися напротив i-ой вершине (или иначе говоря - "объем" одного из 4-х 2-мерных гиперсимплексах, которые составляют 3-мерного симплекса). Тогда можем записать:
,
где
-объём тетраэдра. Таким образом, применяя результат упомянутой ТС задачи №199 (с.29), которая, как он сказал, находится в книге Шарыгина "Стереометрия" (М,2000), получим:
,
где
- общая площадь тетраэдра. Вот так. Только пользуясь методами аналитической геометрии, нам придётся писать формулу об ориентированном объеме тетраэдра (см.
ссылку). А это требует учёт знака. Площади гранях тетраэдра можем конечно вычислять по
Формуле Герона - ибо они треугольники. В итоге получатся громоздкие выражения для
. Предложенная мною система (2a) по моему не хуже - тем более, что она легко обобщается для n-мерного случая. Мне кажется можем всё-таки пользоваться её, чтобы найти все возможные
и соответствующих им радиусов
- как функции декартовых координат вершин тетраэдра и параметры
. У нас будут ещё и аналогические выражения для
и
(где
разумеется не зависит от параметров
). Дальше следует искать путь к нахождением связью между
,
и
- здесь наверное может помочь метод приравнивания коэффициентов перед одинаковых степеней в специальную степенную форму с аргументами
,
,
и координаты вершин тетраэдра. Это приравнивание должно идти таким образом, чтобы данная степенная форма не зависела от координат вершин тетраэдра. Для случае когда
знаем, что такая степенная форма существует. Рассмотрение общего случая видимо никто не делал - поэтому и задача сия интересна.
Теперь центр -- это снова точка пересечения трёх плоскостей, но на этот раз параллельных трём граням и отстоящих от них на расстоянии, равном радиусу (знаки тоже понятно как выбирать).
А здесь можно по-подробнее? Такие параллельные плоскости разумеется можно строить. Почему это лучше, чем искать те точки, которые находятся на одно и тоже расстояние от всех гранях тетраэдра?
Здравствуйте!
Вот ссылка на одну задачу, решение которой, мне, к сожалению, неизвестно:
http://geom.uz/?p=185В ссылке написано:
Цитата:
Задача № 23. Расширение теоремы Мансиона.
Известна теорема Мансиона:
Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
Рискнем распространить ее на пространственные формы:
Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной сфер тетраэдра, делится описанной сферой пополам.
Докажите или опровергните. (курсив - мой)
Эта запись опубликована Среда, января 14, 2009 в 11:23...
На самом деле никто нам не мешает строит прямых между любыми парами точек с радиус-векторами
, которые согласно (2a) можем найти как функции декартовых координат вершин тетраэдра и параметры
. Где эти прямые пересекаются со сферой описанной вокруг тетраэдра, тоже можем найти. И это так потому, что опис. вокруг тетраэдра сфера определяется с помощью решения сист. (1). Так что цитированная вами задача в принципе можно решить - даже легче, чем ту другую, более общую задачу о связь между
,
и
в тетраэдре.