Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра

[ewert]

INGELRII в сообщении #619140 писал(а):

Ангем рулит.

Рулит, если есть необходимость; но сначала лучше бы просто геометрию. Центр описанной сферы -- это просто точка пересечения трёх срединных перпендикуляров, т.е. трёх плоскостей, каждая из которых проходит через середину какого-то ребра перпендикулярно ему. Если теперь приспичит, то уравнение каждой такой плоскости выписывается мгновенно. Рёбра при этом можно выбирать как угодно, лишь бы они не принадлежали одной и той же грани.

Да, а насчёт центра вписанной сферы можно так. Её радиус нам известен (через объём и площадь поверхности тетраэдра). Теперь центр -- это снова точка пересечения трёх плоскостей, но на этот раз параллельных трём граням и отстоящих от них на расстоянии, равном радиусу (знаки тоже понятно как выбирать).

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Вот ссылка на одну задачу, решение которой, мне, к сожалению, неизвестно:

http://geom.uz/?p=185

[Vitalius]

ewert в сообщении #627206 писал(а):

Да, а насчёт центра вписанной сферы можно так. Её радиус нам известен (через объём и площадь поверхности тетраэдра).

В (5) радиус впис. сферы $r$ найден. При том без использованием формул об объем тетраэдра и площади его гранях. Если хотите можно выразить $r$ и так. Пусть $h_{i}$ высота, спущенная из i-ой вершине тетраэдра, а $S_{klm}$ площадь треугольника с вершинами $k$, $l$ и $m$, находящимися напротив i-ой вершине (или иначе говоря - "объем" одного из 4-х 2-мерных гиперсимплексах, которые составляют 3-мерного симплекса). Тогда можем записать:

$h_{i}=\frac{3V}{S_{klm}}$,

где $V$-объём тетраэдра. Таким образом, применяя результат упомянутой ТС задачи №199 (с.29), которая, как он сказал, находится в книге Шарыгина "Стереометрия" (М,2000), получим:

$r=\frac{3V}{S}$,

где $S=S_{123}+S_{124}+S_{134}+S_{234}$ - общая площадь тетраэдра. Вот так. Только пользуясь методами аналитической геометрии, нам придётся писать формулу об ориентированном объеме тетраэдра (см. ссылку). А это требует учёт знака. Площади гранях тетраэдра можем конечно вычислять по Формуле Герона - ибо они треугольники. В итоге получатся громоздкие выражения для $r$. Предложенная мною система (2a) по моему не хуже - тем более, что она легко обобщается для n-мерного случая. Мне кажется можем всё-таки пользоваться её, чтобы найти все возможные $\overrightarrow{r}_{5}$ и соответствующих им радиусов $r$ - как функции декартовых координат вершин тетраэдра и параметры $k_{i}$. У нас будут ещё и аналогические выражения для $d$ и $R$ (где $R$ разумеется не зависит от параметров $k_{i}$). Дальше следует искать путь к нахождением связью между $d$, $r$ и $R$ - здесь наверное может помочь метод приравнивания коэффициентов перед одинаковых степеней в специальную степенную форму с аргументами $d$, $r$, $R$ и координаты вершин тетраэдра. Это приравнивание должно идти таким образом, чтобы данная степенная форма не зависела от координат вершин тетраэдра. Для случае когда $n=2$ знаем, что такая степенная форма существует. Рассмотрение общего случая видимо никто не делал - поэтому и задача сия интересна.

ewert в сообщении #627206 писал(а):

Теперь центр -- это снова точка пересечения трёх плоскостей, но на этот раз параллельных трём граням и отстоящих от них на расстоянии, равном радиусу (знаки тоже понятно как выбирать).

А здесь можно по-подробнее? Такие параллельные плоскости разумеется можно строить. Почему это лучше, чем искать те точки, которые находятся на одно и тоже расстояние от всех гранях тетраэдра?

Nikolai Moskvitin в сообщении #627300 писал(а):

Здравствуйте!

Вот ссылка на одну задачу, решение которой, мне, к сожалению, неизвестно:

http://geom.uz/?p=185

В ссылке написано:

Цитата:

Задача № 23. Расширение теоремы Мансиона.

Известна теорема Мансиона:
Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
Рискнем распространить ее на пространственные формы:
Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной сфер тетраэдра, делится описанной сферой пополам.
Докажите или опровергните. (курсив - мой)

Эта запись опубликована Среда, января 14, 2009 в 11:23...

На самом деле никто нам не мешает строит прямых между любыми парами точек с радиус-векторами $\overrightarrow{r}_{5}$, которые согласно (2a) можем найти как функции декартовых координат вершин тетраэдра и параметры $k_{i}$. Где эти прямые пересекаются со сферой описанной вокруг тетраэдра, тоже можем найти. И это так потому, что опис. вокруг тетраэдра сфера определяется с помощью решения сист. (1). Так что цитированная вами задача в принципе можно решить - даже легче, чем ту другую, более общую задачу о связь между $d$, $r$ и $R$ в тетраэдре.

[ewert]

Vitalius в сообщении #627388 писал(а):

Только пользуясь методами аналитической геометрии, нам придётся писать формулу об ориентированном объеме тетраэдра (см. ссылку). А это требует учёт знака.

Наоборот -- требует игнорирования знака.

Vitalius в сообщении #627388 писал(а):

Площади гранях тетраэдра можем конечно вычислять по Формуле Герона - ибо они треугольники.

Можем, конечно. Только ни один нормальный человек делать этого не будет, а будет считать площади тупо через векторные произведения -- тем более что эти произведения всё равно нужны в этой задачи и для других целей, так что площади (как и объём, кстати) получаются как почти бесплатные приложения.

Vitalius в сообщении #627388 писал(а):

А здесь можно по-подробнее? Такие параллельные плоскости разумеется можно строить. Почему это лучше,

Не знаю, лучше или хуже, но как минимум логически проще -- решение распадается на элементарные и стандартные логические блоки, над которыми размышлять особо не приходится.

[Vitalius]

ewert в сообщении #627927 писал(а):

Наоборот -- требует игнорирования знака.

Ewert, это так, но только тогда когда координаты вершин тетраэдра задали как конкретные численные стоимости. Что пожалуй не годится в данном случае - ибо для той цели, что поставил ТС, нужно знать $d$, $r$ и $R$ как функции из координат вершин тетраэдра, а не частные значения этих функций. А тогда надо иметь ввиду, что $|f(x)|=\pm f(x)$ в зависимости от того в какие области функция положительна и в какие отрицательна. Там где отрицательна, модуль можем снять, меняя знак. И наоборот. В общем методы аналитической геометрии хороши, но вот, бывают и такие недостатки у них. Что естественно - просто "цена" введения координатной системы такова.

[INGELRII]

ewert в сообщении #627206 писал(а):

Центр описанной сферы -- это просто точка пересечения трёх срединных перпендикуляров, т.е. трёх плоскостей, каждая из которых проходит через середину какого-то ребра перпендикулярно ему.

Да, тут Вы меня подловили. Главное, я знал этот способ, но не вспомнил. Видимо, отвечал в крайней спешке.

Зато со вписанной сферой я уже попытаюсь подловить Вас. Вот мой способ, который представляется мне многажды проще всех описанных выше (и заодно обобщается на любое количество измерений). Итак, у нас есть тетраэдр. Выберем ту его вершину, при которой нет ни одного тупого угла, исходящие из нее ребра назовем базисом $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$, а саму вершину началом координат. И будем центр сферы искать в виде вектора с неизвестными координатами $\alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b} + \gamma \overrightarrow{c}$. Возьмем, скажем, грань на ребрах $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ и опустим на нее из искомого центра высоту. Полученный вектор с началом на грани и концом в центре сферы обзовем $\overrightarrow{r_1}$ и разложим его по тому же базису. Получим $\overrightarrow{r_1} = p \overrightarrow{a} + q \overrightarrow{b} + \gamma \overrightarrow{c}$. Почему при векторе це стоит именно гамма, пояснять не надо, думаю. Далее учтем, что $\overrightarrow{r_1}$ перпендикулярен любому вектору в плоскости грани, на которую опущен. В том числе и векторам $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$. Раскрываем скобки в скалярных произведениях $(a, r_1), (b, r_1)$. Получаем систему из двух линейных уравнений относительно переменных $p, q, \gamma$. (все знают, что я лентяй, и именно потому систему не выписываю) Выражаем оттуда $p, q$ через гамму (определитель будет ненулевой), получим нечто вроде $p = m \gamma, q = n \gamma$, где $m, n$ - найденные нами только что некие числовые коэффициенты.

Итого вектор $\overrightarrow{r_1} = m \gamma \overrightarrow{a}+ n \gamma \overrightarrow{b} + \gamma \overrightarrow{c} = \gamma ( m \overrightarrow{a} + n \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} )$. Но из "левых" соображений мы знаем длину этого вектора! Так что умножаем его скалярно сам на себя, раскрываем скобки и получаем что-то вроде $\gamma^2 X = r^2$. Откуда находим положительную гамму.

Повторяем ту же процедуру для двух других граней и получаем координаты альфу и бету. Тем самым находим и центр вписанной сферы. Заметьте, никакой путаницы со знаками, никаких тройных пересечений плоскостей. Хоть сейчас пиши программу. Проще способа придумать не сумел.

Вообще, остаюсь при мнении, что уж в евклидовом-то пространстве ничего кроме ангема вообще не нужно, если надо найти точку пересечения чего-то с чем-то, или что-то равноудаленное от чего-то.

[Vitalius]

Спасибо INGELRII! Но мне кажется, что того Вашего метода надо приспособить для нахождения координат тех точек на граней тетраэдра, к которыми впис. сфера касается. Почему? Потому, что если знаем координат этих 4 точек, то потом можем заместить их в (1), чтобы получить координаты и радиус центра впис. сф. - ибо впис. в тетраэдре сфера на самом деле описана вокруг этих 4 точек.

[ewert]

INGELRII в сообщении #628676 писал(а):

Вот мой способ, который представляется мне многажды проще всех описанных выше

Нет, ну это уж совсем длинная цепочка какая-то.

Наверное, самый короткий способ такой. Какие-то системы уравнений решать придётся при любом подходе, и естественнее всего находить координаты центра вписанной сферы как решение системы уравнений трёх плоскостей, являющихся биссектрисами каких-либо двугранных углов. Рёбра, через которые проходят те плоскости, можно брать любыми, лишь бы они не сходились в одной точке. Вопрос тем самым сводится к нахождению нормальных векторов для этих плоскостей. Ну так это не вопрос: например, для биссектрисы, проходящей через ребро $AB$, вектором нормали будет $\vec n_{AB}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}\right|}+\dfrac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BD}}{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BD}\right|}$. Знаков никаких при этом отслеживать не надо, и никакого радиуса знать тоже не нужно.

[INGELRII]

Vitalius
Которого "того" метода? Я их привел два. Первый не находит находит координаты точек касания вписанной сферы, поскольку с оной вообще не связан. Второй в этом не нуждается (хотя, если надо, можно и найти; и легко, но только постфактум), так как сразу и находит центр вписанной сферы. Вы же предлагаете, как в анекдоте, вылить воду из чайника, чтобы свести задачу к кипячению пустого чайника

ewert
Ну может быть. Хотя мне больше импонирует мой, как-то более элементарным кажется. Если б надо было программировать такую штуку, я бы именно по-своему сделал. Но все это уже не важно, задача-то решена, и аж несколькими способами.


А вот я что-то не соображу: прямые, соединяющие вершину и точку касания вписанной сферы к противоположной грани, они будут между собой пересекаться или не обязаны?

[Vitalius]

INGELRII, того второго метода конечно. Просто там где вводите Ваш вектор $\overrightarrow{r_1} = p \overrightarrow{a} + q \overrightarrow{b} + \gamma \overrightarrow{c}$, надо взять его с единичной длиной. Это должно помочь в плане нахождения точки касания впис. сферы со соответствующей стеной тетраэдра. Или иначе говоря - поможет в выливанием воды из чайника . Я не просто так считаю, что это нужно. Мои ощущения здесь связанны с тем, что "левые соображения" относительно радиуса впис. сфере не очень хорошо помогают для решения первой задачи ТС. Там $d$, $r$ и $R$ нужны как функции из координат вершин тетраэдра. А система (1) даёт именно такие функции абсолютно однозначно. Кроме того она легко программируется. Вот простой скрипт на Mathematica который берёт и решает сист. (1):

n = 3;
r[i_] := Table[x[i, j], {j, 1, n}];
mrOut = Table[r[i] - r[1], {i, 2, n + 1}];
vrOut = Table[(1/2)*(r[i].r[i] - r[1].r[1]), {i, 2, n + 1}];
rOut = LinearSolve[mrOut, vrOut];
Print[rOut];

В общем повторение той самой подпрограммой для другие r[i], а именно те, что являются радиус-векторы не вершин тетраэдра, а точки касания впис. сфере с гранями тетраэдра, мне хочется по возможности использовать для нахождения центра впис. сферы. Несмотря на то, что и сист. (2a) знаю как можно запрограммировать. Для неё удобно генерировать вот такие пермутационные списки:

h = Permutations[Table[i, {i, 1, n + 1}], {2}];
k = {};
For[i = 1, i < Length[h] + 1, i++, 
  If[h[[i, 1]] > h[[i, 2]], k = Append[k, h[[i]]]]];

Их компонент потом надо замещать на место аргумента функции r[i] при генерации детерминант через которыми записываются тройные векторные произведения сист. (2a). В принципе контуры общего скрипта на языке программой Mathematica более или менее ясны. Но последний этап в поиске решения задачи ТС скорее всего придётся решать в форме "диалога" с программой Mathematica. Ибо там сложно запрограммировать вызывание промежуточных этапов, как частью того самого скрипта на языке Mathematica. От крайней цели мы всё ещё далеко. Поэтому вот это рано ещё объявлять:

INGELRII в сообщении #628933 писал(а):

Но все это уже не важно, задача-то решена, и аж несколькими способами.

[ewert]

Ну если вдруг кому любопытно -- то вот чиста конкретное программо. Там много разных служебных процедур, но они все в любом случае необходимы.

Используется синтаксис Pascal

{ Центр вписанной в тетраэдр сферы }

type  vector = array[1..3] of real;

{-----------------------------------------------------------------}
procedure vpro(a,b: vector; var c: vector);
begin
  c[1]:=a[2]*b[3] - a[3]*b[2];
  c[2]:=a[3]*b[1] - a[1]*b[3];
  c[3]:=a[1]*b[2] - a[2]*b[1];
  end;
{-----------------------------------------------------------------}
function spro(a,b: vector): real;
begin    spro:=a[1]*b[1] + a[2]*b[2] + a[3]*b[3];    end;
{-----------------------------------------------------------------}
procedure norm(var a: vector);
{ Нормирует вектор  a }
var  n: real;
begin           n:=sqrt(spro(a,a));
  a[1]:=a[1]/n;    a[2]:=a[2]/n;    a[3]:=a[3]/n;    end;
{-----------------------------------------------------------------}
procedure vadd(a,b: vector; t: real; var c: vector);
{ c = a + t*b }
begin
  c[1]:=a[1]+t*b[1];    c[2]:=a[2]+t*b[2];    c[3]:=a[3]+t*b[3];    end;
{-----------------------------------------------------------------}
procedure nbiss(a,b, c,d: vector; var n: vector);
{ Нормаль биссектрисы двугранного угла, проходящего через ребро  AB }
var  n1,n2, ab,bc,bd: vector;
begin
  vadd(b,a,-1, ab);    vadd(c,b,-1, bc);    vadd(d,b,-1, bd);
  vpro(ab,bc, n1);    norm(n1);
  vpro(ab,bd, n2);    norm(n2);
  vadd(n1,n2,1, n);     end;
{-----------------------------------------------------------------}
function dist(a,b,c, x: vector): real;
{ Расстояние от точки  x  до плоскости, содержащей точки a,b,c }
var  n, ab,ac,ax: vector;
begin
  vadd(b,a,-1, ab);    vadd(c,a,-1, ac);    vadd(x,a,-1, ax);
  vpro(ab,ac, n);      norm(n);
  dist:=spro(ax,n);    end;
{-----------------------------------------------------------------}
{-----------------------------------------------------------------}
function det(a1,a2,a3: vector): real;
var  x: vector;
begin    vpro(a2,a3, x);    det:=spro(a1,x);    end;
{-----------------------------------------------------------------}
procedure kramer(a1,a2,a3, f: vector; var x: vector);
{ Метод Крамера:  a1,a2,a3 - строки системы,  f - правые части }
var  d: real;    b1,b2,b3: vector;
begin
  d:=det(a1,a2,a3);
  b1:=a1;    b2:=a2;    b3:=a3;
  b1[1]:=f[1];    b2[1]:=f[2];    b3[1]:=f[3];
  x[1]:=det(b1,b2,b3)/d;
  b1:=a1;    b2:=a2;    b3:=a3;
  b1[2]:=f[1];    b2[2]:=f[2];    b3[2]:=f[3];
  x[2]:=det(b1,b2,b3)/d;
  b1:=a1;    b2:=a2;    b3:=a3;
  b1[3]:=f[1];    b2[3]:=f[2];    b3[3]:=f[3];
  x[3]:=det(b1,b2,b3)/d;
  end;
{-----------------------------------------------------------------}
{-----------------------------------------------------------------}
procedure vrand(var x: vector);
begin    x[1]:=random;    x[2]:=random;    x[3]:=random;    end;
{-----------------------------------------------------------------}

{=================================================================}
var  a,b,c,d, x, a1,a2,a3, f: vector;
{=================================================================}

begin

  vrand(a);    vrand(b);    vrand(c);    vrand(d);
  nbiss(a,b,c,d, a1);    nbiss(b,c,d,a, a2);    nbiss(c,d,a,b, a3);
  f[1]:=spro(a1,a);      f[2]:=spro(a2,b);      f[3]:=spro(a3,c);
  kramer(a1,a2,a3, f, x);

  writeln('=====================================');
  writeln(dist(a,b,c, x):21:15, dist(a,b,c, d):21:15);
  writeln(dist(a,b,d, x):21:15, dist(a,b,d, c):21:15);
  writeln(dist(a,c,d, x):21:15, dist(a,c,d, b):21:15);
  writeln(dist(b,c,d, x):21:15, dist(b,c,d, a):21:15);
  readln;

  end.

Очевидно.

[INGELRII]

Только сейчас сообразил! "Левые" соображения во втором методе не нужны. Граней-то в тетраэдре четыре. Итак, мы теперь больше не вычисляем заранее длину радиуса вписанной сферы. Сначала делаем все так, как и было, получаем пропорцию между координатами $\alpha, \beta, \gamma$. Скажем, $\alpha= u \gamma, \beta = v \gamma$. А потом распишем еще одно уравнение для четвертой грани, которая в прежнем варианте была нерассмотренной. Оттуда мы и определим точное значение всех коэффициентов, и до кучи длину радиуса, если надо.

Vitalius
По-прежнему не понимаю, зачем вам надо задействовать тот первый метод. Второй состоит из трех шагов (в лишенном "левых" соображений варианте из четырех). На каждом шаге мы находим по одному коэффициенту в разложении $\alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b} + \gamma \overrightarrow{c}$. Найдя эти коэфициенты, мы автоматически и координаты центра получим. Вместо этого вы предлагаете на каждом шаге находить проекцию центра на грань. Это, конечно, можно сделать, количество вычислений будет примерно тем же. Затем придется воспользоваться первым методом. Итого общее количество вычислений возрастает в два раза. Я же говорю: у нас есть чайник, в который налита вода. Я предлагаю его поставить на огонь и вскипятить, а вы - вылить воду, чтобы потом можно было снова воду налить и вскипятить. Зачем?

К примеру, задачу о нахождении центра описанной сферы тоже можно так "упростить": Строим тетраэдр, для которого эта описанная сфера будет вписанной, а затем задействуем процедуру нахождения центра вписанной сферы. Тем самым увеличивая количество вычислений вдвое. Будет ли это хорошо?

ТС, между прочим, знака не подает, доволен ли он нашей бурной деятельностью. С чего мы вообще взяли, что ему нужна программа для этих вещей? Это раз. А два, я сильно сомневаюсь, что мы первые люди на планете, которые занялись этой проблемкой. Наверняка в большинстве матпакетов есть вообще стандартные процедуры для вычисления этих вещей...

UPD: только что пересмотрел первое сообщение темы. ТС нужна вообще формула для расстояния между центрами описанной и вписанной сфер. И чтобы она была негромоздкой. А о программировании я сам же и завел речь первый. Так шта занесло нас, занесло...

[Vitalius]

INGELRII в сообщении #629700 писал(а):

...потом распишем еще одно уравнение для четвертой грани, которая в прежнем варианте была нерассмотренной. Оттуда мы и определим точное значение всех коэффициентов, и до кучи длину радиуса, если надо.

Распишем разложение в базисе $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$, для 4 высоте - та которая спущена из центра впис. сферы к 4 гранью тетраэдра? Вот это что ли? Но Ваши векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$ не являются частью той грани. Т.е. 4 высота будет перпендикулярна векторам $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$. Конечно только 2 из них линейно независимы. Если 4 высота $\overrightarrow{r}_{4}$, то каково это Ваше "еще одно уравнение для четвертой грани"? Кстати, в моих обозначениях радиус-векторы 4 вершин тертраэдра записаны как$\overrightarrow{r}_{1}$, $\overrightarrow{r}_{2}$, $\overrightarrow{r}_{3}$ и $\overrightarrow{r}_{4}$. Так что Ваши вектора $\overrightarrow{r}_{1}$, $\overrightarrow{r}_{2}$, $\overrightarrow{r}_{3}$ и $\overrightarrow{r}_{4}$ - другие. Может лучше будет если обозначим их как $\overrightarrow{s}_{1}$, $\overrightarrow{s}_{2}$, $\overrightarrow{s}_{3}$ и $\overrightarrow{s}_{4}$? Надо отметить ещё, что Ваши вектора $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$, через мои $\overrightarrow{r}_{1}$, $\overrightarrow{r}_{2}$, $\overrightarrow{r}_{3}$ и $\overrightarrow{r}_{4}$, выражаются примерно так:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1}$,

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{2}$,

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{3}$.

В данных обозначениях, некоторое из этих ли уравнений является то Ваше "уравнение для четвертой грани":

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).\overrightarrow{s}_{4}=0$,

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}).\overrightarrow{s}_{4}=0$

Да?

INGELRII в сообщении #629700 писал(а):

UPD: только что пересмотрел первое сообщение темы. ТС нужна вообще формула для расстояния между центрами описанной и вписанной сфер. И чтобы она была негромоздкой. А о программировании я сам же и завел речь первый. Так шта занесло нас, занесло...

Да нет INGELRII - не занесло. Ход наших рассуждений шёл нормально. На самом деле неясно расстояние $d$ между центрами описанной и вписанной сфер в тетраэдре выражается ли только через радиусами этих сферах ($R$ и $r$)? Вот это любопытно ТС. И мне тоже стало любопытно. Чтобы ответить на этот вопрос надо найти $d$, $R$ и $r$ как функции от координат вершин тетраэдра. Без использования некоторая из систем символьной математики (Mathematica или Maple) данный поиск становится излишне нагружающим. Так что без программирования не обойдёмся - по крайней мере если хотим использовать методы ангема для решения задачи ТС:

Nikolai Moskvitin в сообщении #618841 писал(а):

Довольно давно стало интересно: для треугольника есть формула, выражающая расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника через их радиусы; а есть ли такая формула, например, для тетраэдра в трёхмерном пространстве (я имею в виду произвольный тетраэдр)? Есть вообще какая-то негромоздкая формула для этого расстояния?

[INGELRII]

Vitalius
Да, вы все правильно поняли. Слово "уравнение" я написал по ошибке, следует читать "система уравнений" Что касается переобозначений - feel free yourself, если так удобнее. Насчет изначального вопроса ТС - у меня сомнения, что ответ положительный. Ну вот есть у нас два радиуса сфер. В большую вписываем произвольный тетраэдр. Ищем ГМТ центров вписанных сфер, чей радиус равен меньшему. Если ответ положителен, то это должна быть еще одна сфера, концентрическая с той, большой. Вот в этом я и сомневаюсь, мне кажется, степеней свободы в этой задаче побольше будет. Пока торможу, может, днем посмотрю повнимательнее.

[Vitalius]

Что-то не припоминаю как доказывается следующее утверждение:

Окружность $k(O,R)$ и точка $I$ находятся в одной и тоже плоскостью. При этом точка $I$ расположена внутри круга окружности $K$. Пусть продолжение отрезка $|IO|$ пересекает окружность $k$ в точках $P$ и $Q$ ($|IQ|\leq|OQ|,\ |IP|\geq|OP|$). Соединяем произвольную точку $A$ из окружности $k$ с точкой $I$. Если продолжение отрезка $|AI|$ пересекает окружность $k$ в т. $L$, то $|AI|\ |IL|=|IP|\ |IQ|$.

Можете припомнить мне как это доказывается?