Симм. группы

[Dan_Te]

RgWhite писал(а):

записать формулами

Не формулами, а формулой (я говорю про случай (i,i+1)).
Если вы не можете ее сразу выписать, то я скажу - да, вам обязятельно нужно записать это формулой.

[RgWhite]

Никак не соображу как это сделать

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

Никак не соображу как это сделать

Попробуйте, как Вы уже делали раньше, следовать инструкции

RIP писал(а):

Идея такая: с помощью циклического сдвига (12...n) перегнать элементы i и i+1 на первое и второе место, поменять их местами, а затем вернуть на прежние места.

сначала для конкретного примера, а потом обобщить его на случай симметрической группы с произвольным числом переставляемых элементов.

[RgWhite]

не пойму как "с помощью циклического сдвига (12...n) перегнать элементы i и i+1"

[Brukvalub]

Перегоните 4 и 5 на первое и второе место в группе

\[ S_6 \]

, может, тогда станет понятнее.

[RIP]

RgWhite писал(а):

не пойму как "с помощью циклического сдвига (12...n) перегнать элементы i и i+1"

Попробую сказать по-другому. Я имел в виду примерно следующее: применить несколько раз сдвиг (12...n), чтобы в результате элементы с номерами i и i+1 заняли первое и второе места (а остальные элементы $-$ как получится).

[RgWhite]

Это я понял, я не пойму как это сделать. Мы можем использовать саму перестановку (i,i+1) или только (12...n)? Я перемножал (12..n) и (i,i+1), перемножал несколько (12...n), но ничего хорошего не получал

[RIP]

Хорошо, я приведу простенький пример, а Вы попробуйте догадаться, что будет в общем случае:
$n=3,\ i=2$: $(23)=(123)(12)(123)^2$.

P.S. На всякий случай: я перемножаю подстановки справа налево.

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

перемножал несколько (12...n), но ничего хорошего не получал

А сколько раз перемножали?

[Dan_Te]

RIP писал(а):

P.S. На всякий случай: я перемножаю подстановки справа налево.

Может, все-таки слева направо?

[RIP]

Наверное, плохо опять сказал. Я имею в виду, что при вычислении $\pi\sigma$ я сначала применяю подстановку $\sigma$, а потом $\pi$.

[Dan_Te]

RIP писал(а):

Наверное, плохо опять сказал. Я имею в виду, что при вычислении $\pi\sigma$ я сначала применяю подстановку $\sigma$, а потом $\pi$.

Ну вот, если я еще не совсем забыл эти штуковины, то у нас получается
$[123]\stackrel{(123)^2}{\longrightarrow}[312]\stackrel{(12)}{\longrightarrow}[132]\stackrel{(123)}{\longrightarrow}[321]$
Здесь в квадратных скобках я обозначаю элемент группы $S_n$, а в круглых - отображение на $S_n$, чтобы как-то различать.

[RIP]

Я перемножаю подстановки так:
$[123]\stackrel{(123)^2}{\longrightarrow}[312]\stackrel{(12)}{\longrightarrow}[321]\stackrel{(123)}{\longrightarrow}[132]$

Добавлено спустя 1 час 8 минут 2 секунды:

Я бы это изобразил следующим макаром.

$$ \begin{matrix} {}&1&2&3\\ {(123)^2}&\downarrow&\downarrow&\downarrow\\ &3&1&2\\ {(12)}&\downarrow&\downarrow&\downarrow\\ &3&2&1\\ {(123)}&\downarrow&\downarrow&\downarrow\\ &1&3&2 \end{matrix} $$

Т.е. я воспринимаю подстановку как отображение, а произведение $-$ как композицию отображений.

[Dan_Te]

Вы правы. Я просто забыл, что такое транспозиция, и хотел под $(12)$ понимать отображение, меняющее местами две первые цифры в любой перестановке.

[RgWhite]

$$(i,i+1)=(12...n)^{i-1}(12)(12...n)^{n-i+1}$$

так?