Разность соседних кубов и треугольные числа

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627586 писал(а):

Однако, даже если придется рассматривать ещё один вариант - ничего страшного - та же схема доказательства применима...

Ладно, Вы берётесь объяснить, почему невозможно равенство $(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$. Но это тоже непростая задача. А вот предложенная схема доказательства не производит впечатления чего-то серьёзного, поскольку апеллирует к банальным рассуждениям по модулю $9$, да и изложена довольно туманно. Уверен: как только весь этот туман будет убран, доказательства мы не увидим. Если хотите разобраться в деталях, пишите более понятным языком и избегайте любых "очевидностей".

[alexo2]

nnosipov в сообщении #627656 писал(а):

Уверен: как только весь этот туман будет убран, доказательства мы не увидим. Если хотите разобраться в деталях, пишите более понятным языком и избегайте любых "очевидностей".

Сам сейчас думаю, как бы написать без тумана - "попрозрачнее"?...

-- 06.10.2012, 21:06 --

А насчет Вашей уверенности - я отношусь философски, ведь Вы уже недавно сменили "Весьма сомнительно, что выполняется уже для..." на "А вот это как раз и требуется доказать", что я расцениваю как противоположное - "Весьма сомнительно, что не выполняется.." и далее по тексту..

[alexo2]

Придумал, как прояснить доказательство - приведу 4 конкретных примера, одновременно применяя символьное доказательство, после чего, надеюсь, все станет ясно. 4-ре - чтобы показать одну из периодичностей.

[alexo2]

Итак, подбираю числа для примера, исходя из начальных условий и ещё известных условий: основание правой части исходного уравнения не может быть простым числом, необходимо удовлетворение условиям сравнения частей выражения по мод.9 (что, правда, является избыточным условием, при выполнении требований(3)) и взаимной простоты оснований.
Есть, однако, и ещё одно известное условие – правая часть должна делиться на сумму оснований левой, но его я не буду использовать, иначе, во-первых, будет невозможно показать наглядно некоторые последовательности, во-вторых, буду очень долго подбирать примеры, и, в-третьих, для доказательства на этом этапе это условие является избыточным…
1 пример: $n=2, m=8$, соответственно, тройка оснований – 13, 48, 49
2 пример: $n=3, m=8$, соответственно, тройка оснований – 19, 48, 49
3 пример: $n=4, m=8$, соответственно, тройка оснований – 25, 48, 49
4 пример: $n=5, m=8$, соответственно, тройка оснований – 31, 48, 49
В этих примерах я сознательно не менял $ m$, чтобы наглядно показать достаточность «банальных рассуждений по модулю 9».

-- 07.10.2012, 10:01 --

Перейдем сразу к (8) (если уж до этого пункта непонятно, то, как говорится, «тяжелый случай – медицина бессильна»).
$(6n)^3=6(T[6m+1]-T[6n+1])$ применим к нашим примерам:
1 пример:
$(6\cdot2)^3=6(T[6\cdot 8+1]-T[6\cdot 2+1])$ или $(12)^3=6(T[49]-T[13])$
2 пример:
$(6\cdot3)^3=6(T[6\cdot 8+1]-T[6\cdot 3+1])$ или $(18)^3=6(T[49]-T[19])$
3 пример:
$(6\cdot4)^3=6(T[6\cdot 8+1]-T[6\cdot 4+1])$ или $(24)^3=6(T[49]-T[25])$
4 пример:
$(6\cdot5)^3=6(T[6\cdot 8+1]-T[6\cdot 5+1])$ или $(30)^3=6(T[49]-T[31])$

[nnosipov]

По прежнему сплошной туман. К чему эти непонятные примеры? Что за загадочные тройки оснований? Ясности не прибавилось. Становится скучно. Есть уравнение $(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$. Вы хотите доказать отсутствие у этого уравнения решений в натуральных числах $m$, $n$. Вот и приводите доказательство. Причём здесь какие-то численные примеры? Что они доказывают? Если это иллюстрация какого-то утверждения, являющегося частью доказательства, то это утверждение нужно ЧЁТКО сформулировать, а затем привести его доказательство.

Должен заметить, господа любители, что ваши тексты обычно характеризуются именно такой мутностью изложения, которая запутывает в первую очередь именно вас самих. Боритесь с этим, и вы узнаете правду. А ловить рыбку в мутной водичке --- невелика заслуга.

А, вот какие-то формулы появились. Что обозначает символ $T[6m+1]$ и ему подобные?

[alexo2]

nnosipov в сообщении #627874 писал(а):

А, вот какие-то формулы появились. Что обозначает символ $T[6m+1]$ и ему подобные?

Во-первых, рад, что Вы по-прежнему оппонируете, сейчас я стараюсь вести параллельно символьное (алгебраическое) доказательство с разбором конкретных примеров - поверьте, это будет "нескучно".
Во-вторых, обозначение $T[6m+1]$ - это треугольное число с порядковым номером $6m+1$ в последовательном ряду треугольных чисел...

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627486 писал(а):

Треугольные числа я буду обозначать большой Т с указанием в квадратных скобках его порядкового номера в ряду треугольных чисел (начиная с 0). Ну, например:
T[5] – это число 10. (5-е по счету в ряду треугольных чисел 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21…)

Вот нашёл определение. Таким образом, $T[k]=k(k-1)/2$. Так?

[alexo2]

Так вот, далее: я хочу показать, что, с одной стороны, у разности треугольных чисел, которые удовлетворяют исходным условиям, всегда есть делитель, которого, с другой стороны, не должно быть по исходным же условиям, в случае равенства частей уравнения.
(Опять туман? Да, что же такое, в самом-то деле? Уважаемый nnosipov, если уж Вам не понятно, что я делаю, может тему "в топку"?)

-- 07.10.2012, 10:46 --

nnosipov в сообщении #627881 писал(а):

alexo2 в сообщении #627486 писал(а):

Треугольные числа я буду обозначать большой Т с указанием в квадратных скобках его порядкового номера в ряду треугольных чисел (начиная с 0). Ну, например:
T[5] – это число 10. (5-е по счету в ряду треугольных чисел 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21…)

Вот нашёл определение. Таким образом, $T[k]=k(k-1)/2$. Так?

Уфф.. Да, именно так.

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627886 писал(а):

Так вот, далее: я хочу показать, что, с одной стороны, у разности треугольных чисел, которые удовлетворяют исходным условиям, всегда есть делитель, которого, с другой стороны, не должно быть по исходным же условиям, в случае равенства частей уравнения.

Давайте уравнение напишем. А то я пишу одно, Вы --- другое. Напишите то уравнение, которое мы будем обсуждать. Можете использовать Ваше обозначение $T[k]$, под которым мы оба будем понимать произведение $k(k-1)/2$. Хорошо? Потом мы обсудим Вашу идею доказательства.

-- Вс окт 07, 2012 13:51:17 --

alexo2 в сообщении #627886 писал(а):

Да, что же такое, в самом-то деле? Уважаемый nnosipov, если уж Вам не понятно, что я делаю, может тему "в топку"?)

Зачем же так сразу? А правду узнать Вам разве не хочется?

[alexo2]

Ок. Вот, я прихожу в итоге к уравнению $(6n)^3=6(T[6m+1]-T[6n+1])$. Необходимо доказать, что оно не имеет решений.

[nnosipov]

Отлично, исследуем уравнение

$$ (6n)^3=6(T[6m+1]-T[6n+1]). $$

Давайте и будем дальше рассуждать в терминах этого уравнения. Теперь изложите Вашу идею доказательства. На чём будем ловить противоречие?

[alexo2]

Разность треугольных чисел вида $T[6m+1]-T[6n+1]$ при наших исходных условиях всегда имеет делитель равный $6m+6n+1$.
То есть, $(6n)^3$ должно иметь такой делитель.
Но, и $(6n+1)^3+(6m)^3$ также обязано иметь точно такой же делитель.
Одновременное выполнение этих условий - невозможно...

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627898 писал(а):

Разность треугольных чисел вида $T[6m+1]-T[6n+1]$ при наших исходных условиях всегда имеет делитель равный $6m+6n+1$.
То есть, $(6n)^3$ должно иметь такой делитель.
Но, и $(6n+1)^3+(6m)^3$ также обязано иметь точно такой же делитель.
Одновременное выполнение этих условий - невозможно...

Вот здесь Вы выразились очень ясно, поздравляю. Но последнее Ваше утверждение (о невозможности одновременной делимости $(6n)^3$ и $(6n+1)^3+(6m)^3$ на $6m+6n+1$) нужно обосновать.

Пока Вы размышляете, как это сделать, я подробнее прокомментирую предыдущие утверждения.

"Разность треугольных чисел вида $T[6m+1]-T[6n+1]$ при наших исходных условиях всегда имеет делитель равный $6m+6n+1$."

Это потому, что эта разность всегда (т.е. вообще при любых $m$ и $n$) равна $3(6m+6n+1)(m-n)$.

"То есть, $(6n)^3$ должно иметь такой делитель."

Это справедливо в силу равенства $(6n)^3=6(T[6m+1]-T[6n+1])$: правая часть делится на $6m+6n+1$, а значит, и левая часть должна делиться на это число.

"Но, и $(6n+1)^3+(6m)^3$ также обязано иметь точно такой же делитель."

Разумеется, ведь имеет место разложение $(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+6n+1)(\ldots)$.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #627901 писал(а):

Но последнее Ваше утверждение (о невозможности одновременной делимости $(6n)^3$ и $(6n+1)^3+(6m)^3$ на $6m+6n+1$) нужно обосновать.

Уже обосновываю..

-- 07.10.2012, 12:08 --

nnosipov в сообщении #627901 писал(а):

Пока Вы размышляете, как это сделать, я подробнее прокомментирую предыдущие утверждения.

"Разность треугольных чисел вида $T[6m+1]-T[6n+1]$ при наших исходных условиях всегда имеет делитель равный $6m+6n+1$."

Это потому, что эта разность всегда (т.е. вообще при любых $m$ и $n$) равна $3(6m+6n+1)(m-n)$.

"То есть, $(6n)^3$ должно иметь такой делитель."

Это справедливо в силу равенства $(6n)^3=6(T[6m+1]-T[6n+1])$: правая часть делится на $6m+6n+1$, а значит, и левая часть должна делиться на это число.

"Но, и $(6n+1)^3+(6m)^3$ также обязано иметь точно такой же делитель."

Разумеется, ведь имеет место разложение $(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+6n+1)(\ldots)$.

Точно, у Вас как-то проще получилось...

[alexo2]

Итак, доказываем, что невозможно одновременное выполнение следующих условий:
$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$;
$(6n)^3$ и $(6m+1)^3$ делятся на $6m+6n+1$