Разность соседних кубов и треугольные числа

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627925 писал(а):

Итак, доказываем, что невозможно одновременное выполнение следующих условий:
$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$;
$(6n)^3$ и $(6m+1)^3$ делятся на $6m+6n+1$

Вы понимаете, что уравнения $ (6n)^3=6(T[6m+1]-T[6n+1])$ и $(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$ --- это разные уравнения? Выше мы вроде бы договорились, что будем иметь дело с уравнением $ (6n)^3=6(T[6m+1]-T[6n+1])$. Если Вы хотите иметь дело с уравнением $(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$, то пожалуйста, но хотелось бы уже определиться.

[alexo2]

Да, я это понимаю. Но уравнение с треугольными числами, по-моему, свою роль "сыграло" - найдено дополнительное условие, налагаемое на исходное утверждение. А дальше - решаем уже исходное с учетом дополнительного условия. Или я не прав? И так не получится?..

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627931 писал(а):

Или я не прав?

Думаю, что нет. Дополнительное условие возникло при анализе одного уравнения, а пользоваться им Вы хотите, исследуя другое уравнение. Так нельзя.

[alexo2]

Но ведь разрешимость исходного выражения эквивалентна разрешимости выражения с треугольными числами.

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627931 писал(а):

И так не получится?..

Я не знаю. Вы можете попробовать переписать Ваше условие в терминах уравнения $(6n)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$. Какой вид оно приобретёт?

alexo2 в сообщении #627925 писал(а):

$(6n)^3$ и $(6m+1)^3$ делятся на $6m+6n+1$

Этот? Можно пояснить, почему?

-- Вс окт 07, 2012 17:17:29 --

alexo2 в сообщении #627936 писал(а):

Но ведь разрешимость исходного выражения эквивалентна разрешимости выражения с треугольными числами.

Мы здесь с Вами уже столько разных выражений понаписали. Выразитесь конкретнее.

[alexo2]

Я мыслю так:
Если выполняется:
$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$, то должно выполняться и:
$(6n)^3=6(T[6m+1]-T[6n+1])$ и наоборот.
Причем $m,n$ в этих уравнениях - одни и те же...

[nnosipov]

Пардон, это уже я почему-то воспринял уравнение $(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$ как уравнение $(6n)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$.

alexo2 в сообщении #627941 писал(а):

Я мыслю так:
Если выполняется:
$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$, то должно выполняться и:
$(6n)^3=6(T[6m+1]-T[6n+1])$ и наоборот.
Причем $m,n$ в этих уравнениях - одни и те же...

Верно, есть такое дело. Возвращаемся к

alexo2 в сообщении #627925 писал(а):

Итак, доказываем, что невозможно одновременное выполнение следующих условий:
$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$;
$(6n)^3$ и $(6m+1)^3$ делятся на $6m+6n+1$

Продолжайте.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #627953 писал(а):

Продолжайте.

Ну, когда я доказывал год назад, честно говоря, на этом месте я остановился - настолько это мне казалось "очевидным". Так что нужно время

[nnosipov]

Насчёт времени согласен, не будем спешить. Постарайтесь при оформлении своих рассуждений сохранить ясный стиль изложения. Пока я Вас вполне понимаю.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #627957 писал(а):

Насчёт времени согласен, не будем спешить. Постарайтесь при оформлении своих рассуждений сохранить ясный стиль изложения. Пока я Вас вполне понимаю.

Спасибо на добром слове - в принципе, предпочтительный стиль изложения мне становится понятен.
Добавлю про остатки по делению на 9. Я тогда просто "подметил" закономерность с возникновением делителя. Из-за этого и возник "туман". Вы же привели точную формулу...

[alexo2]

А нельзя ли "совсем просто" :
Если $(6n)^3$ имеет делитель $6m+6n+1$, то и $6n$ должно иметь такой делитель, что невозможно?

Нет, к сожалению, нельзя...

[nnosipov]

Отмечу, что существует много пар $(m,n)$, для которых имеют место обе делимости.

[alexo2]

Введем обозначения:
$6n=a$, $6m+1=b$,
тогда перепишем
$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$
в новых обозначениях:
$(a+1)^3+(b-1)^3=b^3$
По условиям
$a^3|(a+b)$
$b^3|(a+b)$
А это возможно, только когда $a=b$
Есть ошибка?

-- 07.10.2012, 18:24 --

nnosipov в сообщении #628021 писал(а):

Отмечу, что существует много пар $(m,n)$, для которых имеют место обе делимости.

А.. Теперь понятно, что есть. Неужели элементарный метод "не прокатит"?

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #628024 писал(а):

Неужели элементарный метод "не прокатит"?

Пока никому не удалось. Кстати, формула $a^3|(a+b)$ означает "$a^3$ делит (т.е. является делителем) числа $a+b$". А Вы хотели сказать "делится", это можно записать как $a^3 \vdots (a+b)$.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #628036 писал(а):

alexo2 в сообщении #628024 писал(а):

Неужели элементарный метод "не прокатит"?

Пока никому не удалось. Кстати, формула $a^3|(a+b)$ означает "$a^3$ делит (т.е. является делителем) числа $a+b$". А Вы хотели сказать "делится", это можно записать как $a^3 \vdots (a+b)$.

Ну, да, надо было написать наоборот...

-- 07.10.2012, 19:16 --

Оппа! Есть подозрение, что выполнимость
$(a+b)|a^3$
$(a+b)|b^3$
влечет за собой наличие общего делителя у $a$ и $b$,
а это существенно меняет ситуацию...