Квадрат и синус случайной величины.

[Deceember]

Всем привет, дали в универе такую задачу, я даже нашел пример ее решения, но все равно не могу понять то как и почему. Пусть X - случайная величина. Являются ли случайными величинами а) $X^2$ б) $\sin(X)$. Я в принципе понимаю что надо делать через определение и начать рассуждать так:
Так как X-c.в, то для любого x от минус бесконечности для плюс бесконечности событие $Bx=\{w{:}\:X<x\}$ принадлежит сигма алгебре событий тогда рассмотрим, например квадрат случайной величины чтобы он был случайной величиной событие Bx состоящее из элементарных для которых $Ax=\{w: -\sqrt{x}<X<\sqrt{x}\}$ должно принадлежать сигма алгебре. И если условие $X<\sqrt{x}$ следует из того что X- c.в , то как это все соединить и собрать вместе я вообще ума не приложу.... помогите пжлст!

[ShMaxG]

Я Вам немного помогу.

Пусть $\[X\left( \omega \right)\]$ является случайной величиной на вероятностном пространстве $\[\left( {\Omega ,F,{\mathbf{P}}} \right)\]$.

1. Функция $\[{{X^2}\left( \omega \right)}\]$ будет случайной величиной, если для любого действительного $x$ множество $\[\left\{ {\omega :{X^2}\left( \omega \right) < x} \right\}\]$ является элементом сигма-алгебры соотв. вероятностного пространства.

2. Для неположительных $x$ это множество пусто, следовательно принадлежит сигма-алгебре.

3. Для положительных $x$ это множество можно представить в виде $\[\left\{ {\omega :{X^2}\left( \omega \right) < x} \right\} = \left\{ {\omega : - \sqrt x < X\left( \omega \right) < \sqrt x } \right\}\]$. Его, в свою очередь, можно представить как пересечение двух множеств. Сделайте это и внимательно посмотрите на получившиеся множества. Что Вы о них можете сказать?

[Deceember]

Я же вроде то же самое написал и до этого дошел, а дальше у меня провал идет. Ну единственная идея Поскольку корень из икс всегда меньше x, то данные события могут быть надмножеством множества событий порожденных с.в X , но что делать с промежутком $-\sqrt{x}<X$ Я вообще ума не приложу( Просто из-за непривычности задачи в голове сумбур какой-то

[ShMaxG]

Сконцентрируйтесь на том, что $\[\left\{ {\omega : - \sqrt x < X\left( \omega \right) < \sqrt x } \right\}\] $ есть пересечение некоторых двух "хороших" множеств. Являются ли они элементами сигмы-алгебры и почему?

[Deceember]

Не знаю(( Сигма алгебра включает объединение пересечение и дополнение событий, но от этого не легче.

[ShMaxG]

Нет, от этого как раз-таки и легче

Ну смотрите, $\[\left\{ {\omega : - \sqrt x < X\left( \omega \right) < \sqrt x } \right\} = \left\{ {\omega :X\left( \omega \right) < \sqrt x } \right\} \cap \left\{ {\omega : - \sqrt x < X\left( \omega \right)} \right\}\]$

Теперь помня, что $X(\omega)$ случайная величина, ответьте на следующие вопросы:

1. Принадлежит ли сигма-алгебре множество $\[\left\{ {\omega :X\left( \omega \right) < \sqrt x } \right\}\]$?

2. Принадлежит ли сигма-алгебре множество $\[\left\{ {\omega : - \sqrt x < X\left( \omega \right)} \right\}\]$?

3. Что теперь можете сказать про их пересечение? А что надо было доказать?

[Deceember]

1 - принадлежит, потому что ${w: X(w)<x}$ также принадлежит сигма алгебре по условию а с корнем это меньшее подмножество.
2- Это главный вопрос, в методичке было написано, что принадлежит, но я не понимаю почему
3 - Если оба принадлежат то их пересечение тоже принадлежит, но почему верен пункт 2?

[ShMaxG]

1. "А с корнем" это тоже самое, ведь иксы любые.
2. Так, проблему локализовали.

Следите за руками: $\[\left\{ {\omega : - \sqrt x < X\left( \omega \right)} \right\} = \overline {\left\{ {\omega :X\left( \omega \right) \leqslant - \sqrt x } \right\}} \]$, черта сверху - это дополнение. Чтобы доказать, что множество слева принадлежит сигма-алгебре, нужно доказать, что множество справа (которое под чертой) принадлежит сигма-алгебре (при дополнении множества мы не выходим из сигма-алгебры). Итак, задача свелась к рассмотрению множества $\[{\left\{ {\omega :X\left( \omega \right) \leqslant - \sqrt x } \right\}}\]$. Внутри стоит нестрогое неравенство, а нам нужно строгое. Но как нестрогое получить из строгого?

[Deceember]

В голову приходит только что-то типа рассмотреть случай равенства случайной величины минус корню из икс и сказать, что в этом случае сигма алгебра принадлежит по дефолту... Неумная мысль по-моему(

[ShMaxG]

Deceember в сообщении #627395 писал(а):

Неумная мысль по-моему(

Вполне здравая мысль. Только немного завяжится. Представьте множество с нестрогим неравенством в виде пересечения множеств со строгим.

[Deceember]

Не совсем понял вашу мысль.

[ShMaxG]

Ну вот $\[\left\{ {\omega :X\left( \omega \right) \leqslant - \sqrt x } \right\}\]$ содержится внутри $\[\left\{ {\omega :X\left( \omega \right) < - \sqrt x + 1} \right\}\]$. А еще оно содержится внутри $\[\left\{ {\omega :X\left( \omega \right) < - \sqrt x + \frac{1}{2}} \right\}\]$. Ну и ...

[Deceember]

А ну тогда оно содержится внутри -корень из икс +1/n , а так как икс ну или заменим на игрек любое , то оно принадлежит сигма алгебре , круто_) Спасибо)

[ShMaxG]

Сам фанатею.

$\[\left\{ {\omega :X\left( \omega \right) \leqslant - \sqrt x } \right\} = \bigcap\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left\{ {\omega :X\left( \omega \right) < - \sqrt x + \frac{1}{n}} \right\}} \]$

Т.о. мы имеем дело со счетным числом пересечений элементов сигма-алгебры, значит, с элементом сигма-алгебры.

P.S. Научитесь оформлять формулы (это Ваша обязанность при пользовании данным форумом).

[AKM]

Deceember,

ознакомьтесь: Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
В теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".
На этот раз я поисправлял Ваши письмена.