Найти все последовательности (как обойтись без индукции?)

[Ktina]

Найти все последовательности $a_k$ натуральных чисел, в которых $m+n$ делится на $a_m+a_n$ для любых натуральных $m$ и $n$. Индукцию не применять.

(А меня так и подмывает применить именно индукцию!)

База индукции:
Очевидно, $a_1=1$, поскольку 1+1 делится только на $\pm 1$ или $\pm 2$, а числа в последовательности -- натуральные.
Переход:
Пусть $a_n=n$.
Тогда $n+n+1=2n+1$ делится на $n+a_{n+1}$.
Но так как речь идёт о натуральных числах, имеем $n+a_{n+1}>n+\frac{1}{2}\to a_{n+1}=n+1$

А как доказать, не применяя индукцию, не знаю.

[Shadow]

Глупое ограничение. Вполне корректое и простое доказательство. Но раз надо (не надо), можно применить спуск вместо индукцию.
Найдем наименьшее $n:a_n\ne n$. По постулату Бертрана найдется $m<n:m+n=p\in \mathbb{P}$. Тогда или $a_m+a_n=1$, что невозможно, или $a_m+a_n=p$ И т.к $a_n\ne n \Rightarrow a_m \ne m$. Противоречие.

[TOTAL]

Пусть хотя бы одна дробь $n/a_n$ (по условию это целое число) больше единицы.
Тогда для всех $m$ получаем $(n+m)/(a_n + a_m) > 1, $ что неверно.