задача К. Неймана

[Oleg Zubelevich]

Точка массы $m$ с коордитнатами $(x,y,z)$ (декартова система координат) движется без трения по сфере $x^2+y^2+z^2=r^2$. На точку действуют силы с потенциалом $V=ax^2+by^2+cz^2$, где $a,b,c$ -- константы.
Описать качественно движение точки.

[Munin]

Качественно то же, что маятник в поле тяжести, но с наворотами. Либо колебания вокруг минимумов, либо "прокручивания". "Прокручивания" будут через перевалы. Так как минимумы образуют трёхмерную решётку в накрытии конфигурационного пространства, то точка будет двигаться по этой решётке. Но не по прямой. От перевала до перевала точка может по-разному изменить своё направление движения, то периодичность будет редко, и в большинстве случаев, видимо, по решётке минимумов будет хаотическое блуждание.

А, всего лишь двумерную. Ну, тем лучше.

По-моему, так.

[Oleg Zubelevich]

Я думаю, что еслиб эта задача была неинтегрируема, то она не была бы именной. Придумать неинтегрируемую систему -- много ума не надо. Наверное надо искать дополнительный первый интеграл в виде многочлена. Подозреваю, что многочлен должен быть второй степени.
А в вырожденном случае $a=b$ дополнительный интеграл заведомо существует -- проекция момента импульса на ось z. Можно даже эффективный потенциал найти введя сферические координаты

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #626233 писал(а):

Я думаю, что еслиб эта задача была неинтегрируема, то она не была бы именной.

Ух ты как.

Не, не вычёсывается у меня из затылка. Наверное, со случайными блужданиями я переборщил, но их детальную непредсказуемость я ж... печёнкой чувствую.

Oleg Zubelevich в сообщении #626233 писал(а):

А в вырожденном случае $a=b$

Ну, он настолько проще выглядит, что даже скучен...

Вы вот скажите, в случае $x^2+y^2+z^2+w^2=r^2$ и $V=ax^2+by^2+cz^2+dw^2$ качественная картина изменится, или уже добавление новых координат ничего не испортит?

[dovlato]

Самый приятный случай $a=b=c$))))))
Если $a>0, b=c=0$ - начинаются метания частицы от полюса к полюсу, но не доходя до них, потому что момент ведь никуда не девается. Это случай напоминает движение заряженных частиц в ионосфере Земли.
Если $a=0, b=c>0$, то могут быть волнистые линии вдоль экватора.
Остальные случаи без уравнений вряд ли прозришь. Да и с ними - не факт.
Вообще-то обычай предков говорит: надо бы попытаться обнаружить какие-нить инварианты..наверняка же есть.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #626263 писал(а):

Вы вот скажите, в случае $x^2+y^2+z^2+w^2=r^2$ и $V=ax^2+by^2+cz^2+dw^2$ качественная картина изменится, или уже добавление новых координат ничего не испортит?

я не знаю, чем больше размерность ,тем больше нужно первых интегралов для полной интегрируемости

[Munin]

Кажется, я неправильно накрытие построил... всё зачеркнуть...

-- 03.10.2012 18:27:19 --

Да, будет 1-мерная цепочка минимумов. Переходы через полюсы максимального потенциала невозможны: в них нереально точно попасть.

Когда я думал, что будет 2- или 3-мерная решётка, я сообразил, что выход из ячейки минимума не бывает через тот же перевал, через который произошёл вход. Для 2- и 3-мерных решёток это было несущественно, всё равно будет блуждание. Для 1-мерной решётки это исключает блуждание, движение будет только в одну сторону. То есть сильно упрощается. По сути, становится почти как обычный 1-мерный маятник с разрешённым прокручиванием. Может быть, можно даже ввести координаты, в которых разделятся переменные. Мне лень, и скиллов маловато.

А вот многомерные сферы становятся интересней.

-- 03.10.2012 18:41:46 --

Нет, похоже, и в любых высших размерностях цепочка минимумов останется 1-мерной. Невозможны будут переходы соответственно: через полюс, через 1-мерную линию, через 2-мерную поверхность, и так далее коразмерности 2.

[Oleg Zubelevich]

Если $a,b,c>0$ то после замены переменных $\xi=\sqrt a x,\eta=\sqrt b y,\zeta=\sqrt c z$ мы получаем задачу о движении точки по эллипсоиду, точка соединена пружиной с центром эллипсоида.
Это одна из классических задач с разделяющимися переменными. Дополнительный квадратичный по скоростям интеграл можно найти методом неопределенных коэффициентов. Очевидно этого и ожидал автор задачи.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #626554 писал(а):

Очевидно этого и ожидал автор задачи.

Вы про К. Неймана (кстати, как в оригинале пишется?), или про себя, скромно? У вас в формулировке не было сказано "найти интеграл", было сказано "описать качественно". Кстати, проверьте мой вывод о разделении переменных для 4-мерного случая.

-- 03.10.2012 21:18:57 --

Oleg Zubelevich в сообщении #626554 писал(а):

Если $a,b,c>0$ то после замены переменных $\xi=\sqrt a x,\eta=\sqrt b y,\zeta=\sqrt c z$ мы получаем задачу о движении точки по эллипсоиду, точка соединена пружиной с центром эллипсоида.
Это одна из классических задач с разделяющимися переменными.

Утверждение о разделении переменных остаётся и в случае, если вместо эллипсоида точка движется по любой квадратичной поверхности с центром в начале координат. Но вот исходной задаче это не соответствует (исходную задачу сдвигом потенциала на константу всегда можно привести к виду $a,b,c>0$). А вот какой "исходной" задаче соответствуют такие поверхности?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #626588 писал(а):

Вы про К. Неймана

Да, про него http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Neumann

Munin в сообщении #626588 писал(а):

У вас в формулировке не было сказано "найти интеграл", было сказано "описать качественно".

А дать сколько-нибудь полное описание движения гамильтоновой системы в неинтегрируемом случае невозможно, за исключением каких-то отдельных тривиальных ситуаций. Сначала первые интегралы, а потом можно уже все разложить по полочкам.

Munin в сообщении #626588 писал(а):

Кстати, проверьте мой вывод о разделении переменных для 4-мерного случая.

а где этот вывод содержится?

Munin в сообщении #626588 писал(а):

(исходную задачу сдвигом потенциала на константу всегда можно привести к виду $a,b,c>0$

а можно подробней?

-- Ср окт 03, 2012 21:38:40 --

Munin в сообщении #626588 писал(а):

Утверждение о разделении переменных остаётся и в случае, если вместо эллипсоида точка движется по любой квадратичной поверхности с центром в начале координат

если Вы это где-то прочитали, то я Вам верю. А так не знаю, не в курсе.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #626642 писал(а):

А дать сколько-нибудь полное описание движения системы в неинтегрируемом случае невозможно. Сначала первые интегралы, а потом можно уже все разложить по полочкам.

Речь может идти о существовании интегралов, но не о том, чтобы найти их в явном виде.

Oleg Zubelevich в сообщении #626642 писал(а):

а где этот вывод содержится?

В post626501.html#p626501. По крайней мере, разделяются движение вдоль цепочки и поперёк цепочки. Движение поперёк... надо подумать, разделяется или нет.

Oleg Zubelevich в сообщении #626642 писал(а):

а можно подробней?

Напомню условия:

Oleg Zubelevich в сообщении #626184 писал(а):

Точка массы $m$ с коордитнатами $(x,y,z)$ (декартова система координат) движется без трения по сфере $x^2+y^2+z^2=r^2$. На точку действуют силы с потенциалом $V=ax^2+by^2+cz^2$, где $a,b,c$ -- константы.

$V+D$ на указанной сфере не отличается от $ax^2+by^2+cz^2+d(x^2+y^2+z^2),$ где $d=Dr^{-2}.$ Взяв $d>\min\{a,b,c\},$ получаем новый положительно-определённый потенциал. С ним и совершаем ваше преобразование координат.

Oleg Zubelevich в сообщении #626642 писал(а):

если Вы это где-то прочитали, то я Вам верю. А так не знаю, не в курсе.

Утверждение о разделении переменных очевидно использует только локальные свойства системы, а не её глобальную структуру. А локально разные квадратичные поверхности устроены одинаково, с точностью до знаков в паре мест, вряд ли это может повлиять на разделяемость переменных. Теперь верите? Или исследуйте самостоятельно, получите удовольствие.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #626660 писал(а):

В post626501.html#p626501. По крайней мере, разделяются движение вдоль цепочки и поперёк цепочки. Движение поперёк... надо подумать, разделяется или нет.

я не слышал ни разу про цепочки, решетки , ячейки итп и не понял, что там написано

Munin в сообщении #626660 писал(а):

на указанной сфере не отличается от $ax^2+by^2+cz^2+d(x^2+y^2+z^2),$

ok значит все закончилось классической задачей.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #626702 писал(а):

я не слышал ни разу

То есть то, что я писал, вы не читали. Ясно. С таким "вниманием" к собеседнику, разговаривать с вами становится неинтересно. Не зря я вас игнорил.

[statistonline]

Имхо, в зависимости от начальной координаты точки она будет двигаться к ближайшей из следующих:
$(\pm r;0;0)$
$(0;\pm r;0)$
$(0;0;\pm r)$
$(\pm \frac{br}{\sqrt{a^2+b^2}};\pm\frac{ar}{\sqrt{a^2+b^2}};0)$
$(\pm \frac{cr}{\sqrt{a^2+c^2}};0;\pm \frac{ar}{\sqrt{a^2+c^2}})$
$(0;\pm \frac{cr}{\sqrt{b^2+c^2}};\pm \frac{br}{\sqrt{b^2+c^2}})$

-- 04.10.2012, 09:45 --

да, и еще 8 точек:
$(\pm \frac{bcr}{\sqrt{b^2c^2+2a^2}};\pm \frac{acr}{\sqrt{b^2c^2+2a^2}};\pm \frac{abr}{\sqrt{b^2c^2+2a^2}})$

-- 04.10.2012, 09:45 --

Итого 26 точек

[Munin]

statistonline
Вы с квадратичными формами знакомы?