Вопрос о характеристики поля

[geoffrey]

Начал читать Винберга Курс алгебры. Не совсем понимаю (хотя смотрел и в др. источниках), что определяет такое понятие как характеристика поля и как оно влияет на возможные операции вообще с алгебраическими структурами, не понимаю его соотношения с ними.
Там же, на стр. 30 есть задача, не знаю как ее решить: Вывести, что в поле $Z_p$ справедливо тождество $a^p=a$.
Должен ли я доказать, что в этом тождестве выполняются аксиомы данного поля?

[AV_77]

geoffrey в сообщении #624772 писал(а):

Там же, на стр. 30 есть задача, не знаю как ее решить: Вывести, что в поле $Z_p$ справедливо тождество $a^p=a$.
Должен ли я доказать, что в этом тождестве выполняются аксиомы данного поля?

Нужно показать, что для любого $a \in \mathbb{Z}_p$ выполняется равенство $a^p = a$.

[geoffrey]

AV_77 в сообщении #624776 писал(а):

geoffrey в сообщении #624772 писал(а):

Нужно показать, что для любого $a \in \mathbb{Z}_p$ выполняется равенство $a^p = a$.

Яснее не стало, что мне для этого нужно применить, может где-то об этом доступнее иизлагается?

[AV_77]

Раз до малой теоремы Ферма вы еще не дочитали, то можно воспользоваться свойствами характеристики поля, биномом Ньютона и индукцией.
Например, для $p = 3$ имеем:
$0^3 = 0$
$1^3 = 1$
$2^3 = (1+1)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^3 + 1^3 = 1+1 = 2$.

[nnosipov]

Ещё можно воспользоваться следующим соображением при $a \neq 0$: если $a_1,\dots,a_{p-1}$ --- все ненулевые элементы поля $\mathbb{Z}_p$, то $\{aa_1,\dots,aa_{p-1}\}=\{a_1,\dots,a_{p-1}\}$.

[Профессор Снэйп]

geoffrey в сообщении #624772 писал(а):

...что в этом тождестве выполняются аксиомы данного поля?

Без комментариев!

[geoffrey]

Профессор Снэйп в сообщении #624831 писал(а):

geoffrey в сообщении #624772 писал(а):

...что в этом тождестве выполняются аксиомы данного поля?

Без комментариев!

простите мое невежество (без шуток)

AV_77 в сообщении #624782 писал(а):

Раз до малой теоремы Ферма вы еще не дочитали, то можно воспользоваться свойствами характеристики поля, биномом Ньютона и индукцией.
Например, для $p = 3$ имеем:
$0^3 = 0$
$1^3 = 1$
$2^3 = (1+1)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^3 + 1^3 = 1+1 = 2$.

общий ход понятен, не понятен вопрос заявленный в самом начале о понятие характеристики поля и о его значение.

[AV_77]

Если поле $F$ имеет характеристику $p$, то для любого $a \in F$ выполняется равенство $pa = 0$. Вот это и достаточно запомнить.

[Sonic86]

geoffrey в сообщении #624837 писал(а):

не понятен вопрос заявленный в самом начале о понятие характеристики поля и о его значение.

Вы, наверное, просто в таких полях (или кольцах) не работали, потому Вам кажется, что это какое-то ненужное понятие (вообще, непонятно, чем оно Вам не нравится? Если подробнее вопрос поставите, может получите более подробный ответ).
Ну есть такие поля (а колец еще больше) - в которых $xp=0$. Например, поля Галуа $GF(p^n)$ (другое обозначение $\mathbb{F}_{p^n}$), в частности и $\mathbb{Z}_p$. Эти поля есть в теории Галуа, они используются в кодировании информации, про них есть целая книжка Лидла и Нидеррайтера (довольно суровая). Все поля характеристики $p$ содержат одно простое подполе $\mathbb{Z}_p$.
Если $p$ - характеристика поля, то имеет место формула Шенемана $(a+b)^p=a^p+b^p$. Для колец $\mathbb{Z}_n$ она намекает на полиномиальный критерий простоты числа $n$: $(x-a)^n=x^n-a$
Есть поле $p$-адических чисел и им аналогичные, еще более, сложные. Над этими полями даже анализ построен, они даже в физике используются.

Я ответил на Ваш вопрос? Да? Нет? Если нет, то поставьте вопрос подробнее.

[BRL]

простите и мое невежество (без шуток).

Допустим поле зет4. Почему характеристикой поля будет 2, а не 4?
(Исхожу из того, что наименьшее положительное целое число n такое, что сумма n копий единицы равна нулю: n*1=0). Догадываюсь, что 1-это должен быть образующий и тогда 2*2=4=0, да и элемента 4 в поле зет4 нет....но как-то не уверен. Вот в зет9 характеристика 2 или 3? Почему?

[bot]

BRL в сообщении #700844 писал(а):

Допустим поле зет4

А это не поле.

[BRL]

Цитата:

А это не поле.

Огромное спасибо, это многое проясняет. Ну а поле из девяти элементов характеристика 2 или 3?

[Nameless_2013]

BRL в сообщении #700863 писал(а):

Ну а поле из девяти элементов

Если вычеты, то это снова не поле.

[BRL]

Цитата:

Если вычеты, то это снова не поле.

...сообразил, что таблицы для сложения и умножения будут отличаться от кольца вычетов. Характеристика поля из девяти элементов 2 или 3? Если вопрос задан некорректно, то почему? На разных полиномах может быть разная характеристика, несмотря на одинаковое количество элементов в полях?

[VAL]

BRL в сообщении #700881 писал(а):

Характеристика поля из девяти элементов 2 или 3?

Разумеется, 3. Вообще, число элементов конечного поля всегда есть степень его характеристики.

Цитата:

Если вопрос задан некорректно, то почему? На разных полиномах может быть разная характеристика, несмотря на одинаковое количество элементов в полях?

А что такое "характеристика поля на полиномах"? Характеристика поля, как ясно из названия, характеризует поле, а не полиномы над ним.