Касательная плоскость к кривой

[Nagva1]

Пусть кривая задается системой $f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0$. Найти касательную плоскость к этой кривой.
Знаю, как находить такую плоскость(касательную в точке), если кривая задана как $r(t)$: тогда плоскость будет параллельна векторам $r'(t), r''(t)$. А как быть с заданием кривой как в задаче выше?

[Padawan]

Есть понятия соприкасающаяся плоскость (то, что Вы назвали касательной), спрямляющая плоскость, нормальная плоскость.

[Oleg Zubelevich]

Padawan i would like to draw your attention to the following funny thing
topic62610.html

[Padawan]

Пусть, например, $\frac{\partial (f,g)}{\partial (x,y)}\neq 0$. Тогда в окрестности рассматриваемой точки уравнения $f(x,y,z)=0$, $g(x,y,z)=0$ можно разрешить относительно $x$ и $y$ как $x=x(z), y=y(z)$. Продифференцируем два раза тождества $f(x(z),y(z),z)=0$, $g(x(z),y(z),z)=0$. Получим

$$f_xdx+f_ydy+f_zdz=0$$

$$g_xdx+g_ydy+g_zdz=0$$

$$f_{xx}dx^2+f_{yy}dy^2+f_{zz}dz^2+2f_{xy}dxdy+2f_{xz}dxdz+2f_{yz}dydz+f_xd^2x+f_yd^2y=0$$

$$g_{xx}dx^2+g_{yy}dy^2+g_{zz}dz^2+2g_{xy}dxdy+2g_{xz}dxdz+2g_{yz}dydz+g_xd^2x+g_yd^2y=0$$

Из первых двух находим $dx, dy$. Из вторых двух $d^2x$, $d^2 y$ (все выражаем через $dz$). Записываем вектора

$$r'_z=\left(\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz},1\right)$$

$$r''_z=\left(\frac{d^2x}{dz^2},\frac{d^2y}{dz^2},0\right)$$

Записываем уравнение соприкасающейся плоскости.
Может можно и проще, но все эти частные производные вычислять по-любому придется.

[alcoholist]

кажется, можно красивее

параметризуем нашу кривую так, чтобы $r'=\nabla f\times\nabla g$

в этом случае $r''=(\nabla f)'\times \nabla g+\nabla f\times(\nabla g)'$

и вектор нормали искомой плоскости

$$ n=r'\times r''=\nabla g(\nabla g,\nabla f,(\nabla f)')+\nabla f(\nabla f,\nabla g,(\nabla g)') $$

осталось заметить, что $(\nabla h)'=(\nabla f,\nabla g,\nabla)\nabla h$

-- Пт сен 28, 2012 18:58:30 --

Собственно, последнее вычисление основано на простой формуле

$$ [F(r(t))]'=(\nabla F,\nabla f,\nabla g), $$

дифференцирования вдоль данной кривой

[Nagva1]

Хотелось бы внести ясность в способ Padawan (кажется, я многого не понимаю)).

Цитата:

Пусть, например, $\frac{\partial (f,g)}{\partial (x,y)}\neq 0$. Тогда в окрестности рассматриваемой точки уравнения $f(x,y,z)=0$, $g(x,y,z)=0$ можно разрешить относительно $x$ и $y$ как $x=x(z), y=y(z)$.

Это какое-то следствие теоремы о неявной функции?

Потом, пусть $x(z), y(z)$, тогда исходные функции становятся функциями от одной переменной, $f(z), g(z)$. А первый дифференциал в Вашем сообщении выглядит так, будто $x,y,z$ это три независимых переменных

$$f_xdx+f_ydy+f_zdz=0$$

[alcoholist]

Nagva1 в сообщении #624446 писал(а):

Это какое-то следствие теоремы о неявной функции?

да:
применим теорему о неявной функции к $A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$, определенной как $F(x,y,z)=(f(x,y,z),g(x,y,z))$

Nagva1 в сообщении #624446 писал(а):

Пусть теперь $x(z), y(z)$, тогда исходные функции становятся функциями от одной переменной, $f(z), g(z)$

нет: $f$ и $g$ определены как функции трех аргументов, из них можно сделать функции одного аргумента $F(z)=f(x(z),y(z),z)$... но это совершенно не относящиеся к делу функции

-- Пт сен 28, 2012 19:23:40 --

Вот простой пример: пусть $f=x-z$, $g=y-z^2$

пересечение тут -- кривая $x(t)=t$, $y(t)=t^2$, $z(t)=t$ но ведь функция $f$ не стала от такой замены тождественным нулем! Да, на кривой она -- ноль, но градиент у нее в ноль нигде не обращается

[Nagva1]

А что вообще такое дифференциал от функции типа $F(x,y,z)=0$(да и функции ли? Что и чему она сопоставляет? Т.е. где тут независимая переменная?) У нас дифференциал $G(x,y,z) \to R^m$ определялся как ограниченный линейный оператор $A$, для которого выполняется $G(x,y,z)-G(x+dx,y+dy,z+dz)=A(h) + \Alpha(h) \cdot ||h||$, $h=(dx,dy,dz)$. Как это определение приложить к такой $F(x,y,z)=0$?

[alcoholist]

Nagva1 в сообщении #624456 писал(а):

да и функции ли?

она ставит в соответствие точке с координатами $(x,y,z)$ число $F(x,y,z)$

но

Nagva1 в сообщении #624456 писал(а):

$F(x,y,z)=0$(

это уже уравнение, которому удовлетворяют точки, лежащие на некоторой поверхности

-- Пт сен 28, 2012 19:45:48 --

вот давайте по-простому

есть пара функций $f(x,y,z)=x-z$ и $g(x,y,z)=y-z^2$

у этих функций есть настоящии дифференциалы в каждой точке (Вы же умеете их вычислять)

теперь посмотрим на множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $f(x,y,z)=0$

это -- плоскость $x=z$

уравнение $g(x,y,z)=0$ задает параболический цилиндр $y=z^2$

эти две поверхности пересекаются по некоторой кривой

-- Пт сен 28, 2012 20:01:46 --

(Оффтоп)

Nagva1 в сообщении #624456 писал(а):

У нас дифференциал $G(x,y,z) \to R^m$ определялся как ограниченный линейный оператор $A$, для которого выполняется $G(x,y,z)-G(x+dx,y+dy,z+dz)=A(h) + \Alpha(h) \cdot ||h||$, $h=(dx,dy,dz)$

Вы не очень хорошо понимаете что пишете, лучше так:
дифференциалом отображения $G:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ в точке $P\in\mathbb{R}^n$ называется линейный оператор $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, для которого

$$ \|G(v+h)-G(v)-Ah\|=o(\|h\|) $$

здесь $v=\vec{OP}$.

Пример ($n=3$, $m=1$). Пусть $G(x,y,z)=y-z^2$ (когда система координат фиксирована соответствие между тройками чисел и векторами однозначно). В этом случае дифференциал в точке $P(x_P,y_P,z_P)$

$$ G(x_P+dx,y_P+dy,z_P+dz)-G(x,y,z)=dy-dz(2z_P+dz)=dy-2z_Pdz+o(\|h\|). $$

Таким образом $Av=(\vec{e}_y-2z_P\vec{e_z},v)=x-2z_Pz$ (вектор $v$ имеет координаты $x,y,z$). То есть наш линейный оператор является скалярным умножением на некоторый вектор. Этот вектор называют еще градиентом функции в данном точке.

[Nagva1]

Оч. интересный оффтоп..

Цитата:

Таким образом $Av=(\vec{e}_y-2z_P\vec{e_z},v)=x-2z_Pz$

тут нет опечатки? Из предыдущего двойного равенства вижу, что $Av=dy-2z_pdz$, а тут откуда-то $x$ появился..

По основной задаче:

Цитата:

Из первых двух находим $dx, dy$. Из вторых двух $d^2x$, $d^2 y$ (все выражаем через $dz$). Записываем вектора

$$r'_z=\left(\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz},1\right)$$

$$r''_z=\left(\frac{d^2x}{dz^2},\frac{d^2y}{dz^2},0\right)$$

Но зачем нам эти векторы? Почему плоскость будет им параллельна?

[Padawan]

Nagva1 в сообщении #624306 писал(а):

Знаю, как находить такую плоскость(касательную в точке), если кривая задана как $r(t)$: тогда плоскость будет параллельна векторам $r'(t), r''(t)$.

А тут кривая задана как $r(z)=(x(z),y(z),z)$

[alcoholist]

Nagva1 в сообщении #624518 писал(а):

тут нет опечатки?

да, конечно, опечатался, там $y$

[Unconnected]

Всё-таки не пойму про

Цитата:

применим теорему о неявной функции к $A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$, определенной как $F(x,y,z)=(f(x,y,z),g(x,y,z))$

На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_неявной_функции[/url] есть многомерный случай, но сюда он никак не лепится O_o

[alcoholist]

Unconnected в сообщении #624943 писал(а):

На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_неявной_функции[/url] есть многомерный случай, но сюда он никак не лепится O_o

В нашем случае $n=1$, $m=2$. То самое отображение $f:U\to V$, о котором там написано, и есть нужное нам $z\mapsto (x(z),y(z))$

[Nagva1]

А, теперь ясно.
Я тут задумался над определением дифференциала в нашем курсе, вот этим:
$G(x,y,z)-G(x+dx,y+dy,z+dz)=A(h) + \alpha(h) \cdot ||h||$, $h=(dx,dy,dz)$, - слева вектор, а справа вектор плюс.. непонятно что. Или, может, $\alpha(h)$ это бесконечно малая от вектора? В принципе, подходит, но такого у нас не определяли..