равномерность

[Руст]

vicvolf в сообщении #623327 писал(а):

Пусть $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=0, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=0$ $(\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty)$ и $f(x) \sim g(x)$, то $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1$ (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$ (6.2).

Оба заключения неверны. Например для функций $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt x}, g(x)=f(x)+f^2(x)$ оба заключения не выполняются.

Можете взять и M, только что это дает.

[Руст]

И так пришли к аналитической теории чисел, оценке $e$ и $g$ сумм. Вначале заметим, что их малость характеризует равномерность распределения дробных долей $\{f(n)\}$, точнее если дробные доли равномерно распределены в вышеприведенном смысле, то обе суммы малы. Малость обеих сумм говорит только о близости распределения к симметричному распределению. Приведу доказательство этого простого утверждения только для $e$ сумм;

$$S=\sum_{M-N+1\le n\le M} e(f(n),$$

для $g$ сумм доказательство проводится аналогично.
Делим интервал (0,1) на m равных частей и обозначим через $N_j$ количество точек n из интервала суммирования, таких, что $\{f(n)\}$ попадает в j- ый интервал. Пусть $M_j=N_j-\frac{N}{m}$ разница между фактическим количеством точек попавших в соответствующий интервал с теоретическим (ожидаемым) количеством. Условие равномерности распределения означает, что

$$|\sum_{j=l+1}^{l+k}M_j|<M^{\epsilon}\sqrt{N\frac{k}{m}}.$$

Отсюда для $e$ суммы получается оценка

$$S=\sum_j M_je(\frac{j}{m})+O(\frac{N}{m}.$$

Пусть $K_j=\sum_{l=1}^j M_j.$ Заметим, что $K_0=K_m=0$. Выражая $e$ сумму через них получаем:

$$S=\sum_{j=1}^m(K_j-K_{j-1})e(\frac{j}{m}) +O(M^{\epsilon}\frac{N}{m})=\sum_{j=1}^{m-1}K_je(\frac jm)(e(\frac 1m)-1)=O(M^{\epsilon}\sqrt N), m=[\sqrt N].$$

Т.е. получаем малость суммы такого порядка, какой требовали на погрешность $R$.

$e$ суммы удобны при подсчете точного количества решений диофантовых уравнений. Удобство заключается в его мультипликативности $e(x+y)=e(x)e(y)$. В качестве примера рассмотрим количество $2r$ значных счастливых чисел в $n-$ иречной системе исчисления. Это количество совпадает с количеством решений уравнения:

$$x_1+...+x_r=x_{r+1}+...+x_{2r}, x_i=0,1,...,n-1.$$

Возьмем натуральное число $N>r(n-1)$. Тогда выполнение последнего равенства по модулю $N$ эквивалентно точному равенству, соответственно искомое количество решений есть:

$$S=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{0\le x_i< n}e(\frac{k(x_1+...+x_r-x_{r+1}-...-x_{2r})}{N}).$$

Так как при любом $N>(n-1)r$ это выражает одно и то же число, устремляя $N$ к бесконечности получаем количество счастливых чисел через интеграл:

$$S=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}(\frac{\sin nx}{\sin x})^{2r}dx =\frac{n^{2r}}{\sqrt{r\pi (n^2-1)/3}}(1-\frac{3(n^2+1)}{40r(n^2-1)}-\frac{27(n^4+n^2+1)}{28r^2(n^4-2n^2+1)}+O(r^{-3})).$$

Как видно их плотность убывает медленнее (как $C\frac{1}{\sqrt r}$) чем плотность простых $O(\frac 1r)$. Т.е. при больших r простых чисел встречается гораздо реже, чем счастливых.

$g$ суммы естественным образом получаются при подсчете целых точек в области. Рассмотрим целые точки под графиком $у=f(x)>0, a\le x\le b.$ Количество целых точек есть

$$N=\sum_{A\le n\le B}([\frac{f(nh_1)}{h_2}+\frac 12), A=\frac{a}{h_1},B=\frac{b}{h_1}.$$

В соответствии с нашей договоренностью точки на границе (в частности на оси х )считаются с весом $\frac 12$ и т.д. Таким образом

$$N=\frac{1}{h_2}\sum_n f(nh_1) -R, R=\sum_n g(\frac{f(nh_1)}{h_2}.$$

Здесь первая часть аппроксимация площади интеграла методом трапеции (ошибка обычно порядка $O(1)$) в единицах $h_1h_2$, а $g$ сумма с точностью до знака совпадает с погрешностью.

Аппроксимация таких сумм в следующий раз. Приведу одну механическую аналогию. Когда $\{f(n)\}$ равномерно распределены $e$ сумма соответствует броуновскому движению с шагом 1 по случайному направлению, $g$ сумма броуновское движение по прямой с шагом от $-\frac 12$ до $\frac 12$ (длина шага случайная). Естественно ожидать? xnj через $N$ шагов окажемся примерно на расстоянии $O(\sqrt N).$

[vicvolf]

Руст в сообщении #623398 писал(а):

vicvolf в сообщении #623327 писал(а):

Пусть $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=0, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=0$ $(\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty)$ и $f(x) \sim g(x)$, то $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1$ (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$ (6.2).

Оба заключения неверны. Например для функций $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt x}, g(x)=f(x)+f^2(x)$ оба заключения не выполняются.

Спасибо за контпример. Жаль, в общем случае лемма ошибочна, но для функции плотности $C_{km}/ln^k x$ асимптотика правильная.

[Руст]

vicvolf в сообщении #623441 писал(а):

Жаль, в общем случае лемма ошибочна, но для функции плотности $C_{km}/ln^k x$ асимптотика правильная.

Асимптотика для средней плотности тривиальная. Вы пишите интегралы, т.е. предполагаете существование локализованной плотности. Я лично не умею доказывать существование локализованной плотности для k - кортежей с $k>1$. Даже для $1-$ кортежей доказательство довольно не простое. С другой стороны оно и ни кому не нужно. Так как от него ничего не получается относительно распределения простых чисел. Поэтому не имеет смысла утруждать себя с доказательством этого факта.

[vicvolf]

Руст в сообщении #623456 писал(а):

Асимптотика для средней плотности тривиальная.

Я рассматриваю не среднюю плотность К-кортежей на интервале, а асимптотическую среднюю плотность К-кортежей на интервале, когда значение $x=p_r$ стремится к бесконечности - это непрерывная функция от x.

Цитата:

Вы пишите интегралы, т.е . предполагаете существование локализованной плотности.

Нет я не предполагаю существование локализованной плотности. Я работаю с интегралом. не устремляя интервал к 0, а наоборот, устремляя интервал к бесконечности и рассматриваю интеграл на том же бесконечном интервале, на котором определена асимптотическая средняя плотность.

Цитата:

Я лично не умею доказывать существование локализованной плотности для k - кортежей с $k>1$. Даже для $1-$ кортежей доказательство довольно не простое. С другой стороны оно и ни кому не нужно.

Согласен, это не нужно, в силу сказанного выше.

[Руст]

vicvolf в сообщении #623588 писал(а):

Я рассматриваю не среднюю плотность К-кортежей на интервале, а асимптотическую среднюю плотность К-кортежей на интервале, когда значение $x=p_r$ стремится к бесконечности - это непрерывная функция от x.

Вы не понимаете, что во первых, при увеличении х число М увеличивается экспоненциально, во вторых, плотность кортежей уменьшается не непрерывно от х (величины, меняющейся не непрерывно.

Цитата:

Нет я не предполагаю существование локализованной плотности. Я работаю с интегралом. не устремляя интервал к 0, а наоборот, устремляя интервал к бесконечности и рассматриваю интеграл на том же бесконечном интервале, на котором определена асимптотическая средняя плотность.

Если бы вы действительно считали, то, что хотите, то интеграл не совпадал бы с тем, что вы хотите считать.

[Руст]

Продолжение.
Верны и обратные теоремы. Если для всех натуральных $a<\sqrt N$ $e$ суммы $\sum_{n=M-N+1}^n e(af(n))$ оцениваются величиной $C\sqrt N M^{\epsilon}$, то дробные доли $f(n)$ распределены равномерно. Если это верно только в случае $N$ порядка $M$, то последовательность дробных долей равномерно в среднем. Это утверждение доказывается разложением в ряд Фурье характеристических функций интервалов $\lambda_{\alpha,\beta}(x)=1, \{x\}\in (\alpha,\beta)$, на краях $\lambda(x)=\frac{1}{2}$, вне интервала 0. Нечто похожее есть в книге Виноградова "Особые методы тригонометрических сумм." Аналогичное утверждение справедливо и $g$ сумм. Соответственно задачи о равномерности сводятся к оценке $e$ или $g$ сумм.
Докажем эквивалентность следующих утверждений 1 и 2, 3 и 4:
1) Простые числа равномерно распределены в среднем, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $\phi (x)$, что $|\pi (x)-\int_2^x \phi(x)dx |<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$ при любом $\epsilon >0$.
2) Справедливо ГР (гипотеза Римана).
3)Для любого m и взаимно простых с m вычетов а, простые числа, дающие вычет а по модулю m распределены равномерно в среднем.
4) Справедливо РГР (расширенная гипотеза Римана), т.е все нули в правой полуплоскости у функций

$$\zeta (\lambda, s)=\sum_n \frac{\lambda(n)}{n^s}=\prod_p (1-\frac{\lambda(p)}{p^s})^{-1}$$

лежат на критической прямой $Re(s)=\frac 12$.
То, что из 2) следует 1) и из 4) следует 3) имеется во всех учебниках.
Обратные утверждения известны специалистам, только я не знаю где изложено. Поэтому приведу идею доказательства. Из равномерности последовательности простых чисел следует равномерная сходимость произведения для зета функции при $Res>\frac 12 +\epsilon$, что означает, что в этой части отсутствуют нули. Так как это верно для любого $\epsilon$ и из=за симметрии нули, они могут быть только на критической прямой. Точно так же доказывается, что из 3) следует 4).
С учетом этого сами ГР, РГР становятся бесполезными отвлекающими математиков гипотезами. Числовикам нужно доказать равномерность распределения простых, и это можно сделать напрямую без гипотез Римана, оценивая только $g$ суммы.
В качестве примера $g$ сумм рассмотрю две традиционные задачи о количестве целых точек в области:
Первое в круге радиуса $R$ с центром вначале координат, при устремлении $R$ к бесконечности. Пусть $M=[\frac{R}{\sqrt 2}]$. Тогда количество целых точек в области вычисляется как

$$N=(2M+1)^2+4\sum_{n=-M}^M ([\sqrt{R^2-n^2}]-M)+\delta,$$

где $\delta =2$, если $R^2=2M^2$, иначе 0. Далее это приводится к виду:

$$N=\pi (R^2-\{\frac{R}{\sqrt 2}\}^2-8\Delta-8\sum_{0\le n\le \frac{R}{\sqrt 2}}g(\sqrt{R^2-n^2}.$$

Здесь $\Delta$ - площадь между окружностью и многоугольником с вершинами $(i,\sqrt{R^2-i^2}),i=0,1,..,M$. Второй и третий члены вместе не превосходят 6. Основная погрешность в $g-$ сумме. Заметим, что это количество есть еще $N=1+4\sum{n=1}^{R^2}\phi (n)$, где $\phi(n)$ - количество решений в целых числах для уравнения $x^2+y^2=n, x>0,y\ge 0$ и является мультипликативной функцией: если $p=3\mod 4$, то $\phi(p^k)=0$ когда k нечетное, иначе 1.
если $p=1\mod 4$, то $\phi(p^k)=k+1$,
если $p=2$, то $\phi(2^k)=1$.
Учитывая представление о сумме мультипликативной функции $\phi(x)$ из оценки $g$ можно получить равномерность распределения простых чисел по модулю 4.
Для ГР более важно хорошая оценка точек под гиперболой $xy\le M=R^2$, когда $x,y$ пробегают натуральные числа. Из за симметрии получаем:

$$N=2\sum_{n=1}^{[R]} [\frac{R^2}{x}] -[R]^2=2R^2H_{[R]}-[R]^2-[R]+d-2\sum_{n=1}^{[R]}g(\frac{R^2}{x}).$$

Здесь $d$ - количество натуральных делителей $R^2$ (когда оно целое), не превосходящих $R$. Взяв аппроксимацию для $H_n$ получаем

$$N=R^2(\ln R^2 +2\gamma -1)+d-2\sum_{n=1}^{[R]}g(\frac{R^2}{x})+O(1).$$

Аналогично, это количество совпадает с суммой $N=\sum_{n=1}^{R^2} d(n)$, где $d(n)$ - мультипликативная функция - количество делителей числа $n$. Соответственно оценка приведенной выше $g$ суммы приводит к равномерности распределения простых чисел (при умелом использовании).
Заметим, что группа $GL_2(Z)$ - целочисленных матриц с определителем $\pm 1$ действуют на плоскости

$$\binom{x'}{y'}=\binom{a \ \ b}{c \ \ d}\binom{x}{y}$$

переводя взаимно однозначно целые точки в целые и сохраняя площадь. Поэтому они сохраняют оценки $g$ сумм с точностью до $|ad+bc|О(1)$. Когда этот множитель небольшой сохраняются $g$ суммы. По видимому это преимущество $g$ сумм над $e$ суммами главное, из- за чего, следует пользоваться именно ими. Эту вступительную часть я докладывал в прошлом году в Питере вначале лета.

[vicvolf]

Руст в сообщении #623757 писал(а):

...плотность кортежей уменьшается не непрерывно от х.

Это важно при рассмотрение локализованной плотности кортежей на небольших интервалах, так как там может просто не быть нужных кортежей вообще. Но когда мы рассматриваем асимптотическую среднюю плотность кортежей при стремлении длины интервала к бесконечности, то в этом случае это не имеет значения.
Например, мы аппроксимируем асимптотическую среднюю плотность простых чисел непрерывной функцией 1/lnx и соответственно количество простых чисел на интервале непрерывной функцией $\pi(x)=\int_{2}^{x}{1/lnt dt}$, хотя прекрасно понимаем, что количество простых чисел растет скачкообразно с ростом х. Как Вы правильно ранее заметили, что простые числа это тоже кортеж с длиной 1.
В гипотезе Харди-Литлвуда асимптотическая средняя плотность близнецов аппроксимируется функцией непрерывной функцией $C/ln^2 x$ и соответственно количество близнецов на интервале непрерывной функцией $\pi_2(x)=C\int_{2}^{x}{1/ln^2 t dt}$, хотя понимаем, что количество близнецов с ростом х также растет скачкообразно. Вот вам пример кортежа длиной 2.
Кстати гипотеза Харди-Литвуда распространяется и на кортежи большей длины. Вот здесь как раз об этом http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Так, что это нормальный подход.

[Руст]

vicvolf в сообщении #623992 писал(а):

Кстати гипотеза Харди-Литвуда распространяется и на кортежи большей длины. Вот здесь как раз об этом http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Так, что это нормальный подход.

Там говорится, что это гипотеза. А вы претендуете на то, что имеете доказательство. Пока я не видел ни одного обоснованного перехода в ваших рассуждениях.

-- Чт сен 27, 2012 18:06:09 --

По просьбе трудящихся приведу к оценке $g$ суммы в вычислении асимптотики и погрешности для суммы мультипликативной функции (сумма делителей):

$$N=\sum_{k=1}^n \sigma (k).$$

Так как каждое натуральное число $k$ является делителем чисел $k,2k,3k,...,k[\frac{n}{k}]$, то эту сумму можно представить в виде:

$$\sum_{k=1}^n k[\frac{n}{k}]=\sum_{m=1}^n m \sum_{\frac{n}{m+1}<k\le \frac{n}{m}}k=\frac 12 \sum_{m=1}^n m([\frac nm]^2+[\frac nm]-[\frac{n}{m+1}]^2-[\frac{n}{m+1}])=\frac 12 \sum_{m=1}^n( [\frac nm]^2+[\frac{n}{m}]).$$

Теперь выразим $[\frac nm]=\frac nm -\{\frac nm\}$ и подставим в полученное:

$$N=\frac{n^2}{2}\sum_{m=1}^n\frac{1}{m^2} +\frac 12 \sum_{m=1}^n(\{\frac nm\}-1)\{\frac nm\}-n\sum_{m=1}^n\frac 1m g(\frac nm).$$

Первое и второе дают главный член $\frac{\pi n^2}{12}+O(n)$. Можно оценить даже коэффициент перед $O(n)$. Последний член при малых $m$ ведет себя плохо для оценки. Соответственно оценим грубо при $m<M<n$ как $\frac n2 \ln M$. При больших m, появляется статистические усреднение $-\frac{n}{2}\sum_{m=M}^n\frac 1m g(\frac nm)$. Из оценок для точек под гиперболой следует брать $M=exp(\sqrt[4]{\ln n})$. При хорошей оценке получится оценка вида $O(n(\ln n)^{1/4}(\ln \ln n)^a).$ Уточнения и получение последней оценки можно провести, после оценок $g$ сумм для целых точек под гиперболой.

[vicvolf]

Руст в сообщении #624006 писал(а):

vicvolf в сообщении #623992 писал(а):

Кстати гипотеза Харди-Литвуда распространяется и на кортежи большей длины. Вот здесь как раз об этом http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Так, что это нормальный подход.

Там говорится, что это гипотеза. А вы претендуете на то, что имеете доказательство.

Правильно, там дается гипотеза для некоторых частных случаев, а я занимаюсь доказательством общего случая.

Цитата:

Пока я не видел ни одного обоснованного перехода в ваших рассуждениях.

Предыдущее сообщение как раз является обоснованием использования непрерывных функций для оценки асимптотической средней плотности и числа кортежей. Это же основное Ваше замечание!
Поймите, мы оба правы. Вы - с необходимостью учета скачков в оценке локализованной плотности, я - с возможностью использования непрерывной функции для оценки асимптотической средней плотности. Последнему подходу есть примеры, которые я привел выше. Как я понял, против использования непрерывных функций при оценке асимптотической средней плотности и числа кортежей в гипотезе Харди-Литлвуда у Вас возражений нет.

[Руст]

vicvolf в сообщении #624114 писал(а):

. Вы - с необходимостью учета скачков в оценке локализованной плотности, я - с возможностью использования непрерывной функции для оценки асимптотической средней плотности. Последнему подходу есть примеры, которые я привел выше. Как я понял, против использования непрерывных функций при оценке асимптотической средней плотности и числа кортежей в гипотезе Харди-Литлвуда у Вас возражений нет.

1) Примеры ничего не доказывают.
2) Гипотезы Харди-Литвуда о k- кортежах, я считал их гипотезами Шинцеля противоречат другой гипотезе Харди-Литвуда о том, что $\pi(x+y)<\pi(x)+\pi(y)$. Я вообще сомневаюсь, что они верны при $k>2$. Верны скорее более слабые варианты без указания коэффициентов, например о их бесконечности. Даже для доказательства бесконечности 2 кортежей требуется доказательства более сильной равномерности распределения простых чисел, чем равномерность в среднем, эквивалентного гипотезе Римана.
3) Средние плотности ничего не дают. Я вас просил показать, что в области (M/4, 3M/4) примерно половина кортежей из области (0,M). Пока вы не смогли показать, что там есть хотя бы один кортеж.
4) Доказать, что среди кортежей ПСВ находится хотя бы один кортеж, состоящей только из простых и вообще рока недоступная задача при $k\ge 2$.

[vicvolf]

Руст в сообщении #624132 писал(а):

1) Примеры ничего не доказывают.

Но они показывают, что подход к проблеме оценки количества кортежей через асимптотическую среднюю плотность достаточно широко используется.

Цитата:

2) Гипотезы Харди-Литвуда о k- кортежах, я считал их гипотезами Шинцеля

Гипотезы Харди-Литвуда только о некоторых частных случаях кортежей. Общая гипотеза о k-кортежах есть у Диксона http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Di ... cture.html

Цитата:

Я вообще сомневаюсь, что они верны при $k>2$.

Зачем сомневаться, когда есть объективные данные. Например, для $\pi_3(p, p+2,p+6)$ в работе, на которую я ссылался в предыдущем сообщении, приводятся реальные данные при $x=10^5$ число таких кортежей составляет 259 (подсчитанные по формулам Харди-Литвуда - (279), при $x=10^6$ - 1393 (1446), при $x=10^7$ - 8453 (8591), при $x=10^8$ - 55600 (55491). Обратите внимание, 1) кортежи существуют, 2) с ростом х их число возрастает, 3) относительная ошибка аппроксимации по формулам Харди-Литлвуда, с ростом х падает.

Цитата:

Верны скорее более слабые варианты без указания коэффициентов, например о их бесконечности.

Да бесконечность числа k-кортежей является следствием 1 из гипотез Харди-Лилтвуда и Диксона.

Цитата:

Даже для доказательства бесконечности 2 кортежей требуется доказательства более сильной равномерности распределения простых чисел, чем равномерность в среднем, эквивалентного гипотезе Римана.

Это подход от локализованной плотности, но для подхода от асимптотической средней плотности Харди-Лилтвуда и Диксона бесконечность числа кортежей следует автоматически без доказательства более сильной равномерности.

Цитата:

3) Средние плотности ничего не дают.

Это Ваше личное мнение. Оно не совпадает с моим мнением, Харди,Литлвуда, Диксона и других.

Цитата:

Я вас просил показать, что в области (M/4, 3M/4) примерно половина кортежей из области (0,M). Пока вы не смогли показать, что там есть хотя бы один кортеж.
4) Доказать, что среди кортежей ПСВ находится хотя бы один кортеж, состоящей только из простых и вообще рока недоступная задача при $k\ge 2$.

Такие задачи любит vorvalm. Не буду отбирать его хлеб.

[vorvalm]

vicvolf
При ссылке на третьи лица выбирайте выражения.
Кто чего любит не ваше дело.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #624371 писал(а):

vicvolf
При ссылке на третьи лица выбирайте выражения.
Кто чего любит не ваше дело.

Напрасно обижаетесь! Я просто имел в виду, что похожие вопросы о ПСВ Вы обсуждали с Рустом в теме о бесконечности близнецов.

[vorvalm]

Надо всегда держать себя в руках...