Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c

[Батороев]

nnosipov в сообщении #624051 писал(а):

Это не банальность.

"На вкус и цвет - товарищей нет".
Есть общая форма разложения чисел на разность квадратов. Остальное, на мой взгляд, банальность.

-- 28 сен 2012 00:08 --

Если Вы под "аккуратностью" подразумеваете рассмотрение ВСЕХ вариантов, то в статье до нее тоже далековато, в чем автор и признается в конце статьи.

[Shadow]

Батороев в сообщении #624046 писал(а):

Берем $z^4$ и представляем его в виде любого возможного произведения двух натуральных множителей (двух четных или двух нечетных), далее раскладываем по стандартной форме в виде разности квадратов, например:

Если z известно, то точно так и сделаем. Но так как неизвестно, пробуем найти параметризацию решений. Что предлагаете Вы? Возмем уравнение $x^2+y^2=z^2$. Берем $x^2$, (или y, все равно)

Батороев в сообщении #624046 писал(а):

и представляем его в виде любого возможного произведения двух натуральных множителей (двух четных или двух нечетных), далее раскладываем по стандартной форме в виде разности квадратов

И к чему такие банальности $u^2-v^2,2uv,u^2+v^2$ не понятно.

[nnosipov]

Батороев в сообщении #624082 писал(а):

Остальное, на мой взгляд, банальность.

Вы не правы. В данном случае это не вопрос вкуса и цвета, а вопрос математической культуры.

Батороев в сообщении #624082 писал(а):

Если Вы под "аккуратностью" подразумеваете рассмотрение ВСЕХ вариантов, то в статье до нее тоже далековато, в чем автор и признается в конце статьи.

Это неправда. Ни в чём таком автор не признаётся. Читайте внимательнее. Автор весьма аккуратен.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #624104 писал(а):

Ни в чём таком автор не признаётся. Читайте внимательнее. Автор весьма аккуратен.

Цитата:

Как явствует из сказанного выше, совокупность формул
............ не даёт всех решений диофантова
уравнения (1) с условием (2).

p.s. Сдается мне, что рассмотрение в стиле данной статьи было когда-то на форуме.

-- 28 сен 2012 00:49 --

Shadow
Вы в каких обозначениях рассматриваете: в тех, что в теме или тех, которые в статье?

[nnosipov]

Батороев, Вы обратили внимание на теоремы 1-4? Именно там сформулирован главный результат работы и приведены формулы (9), (11), (13) и (15), каждая из которых даёт ВСЕ решения уравнения (1). В теореме 5 доказывается эквивалентность этих формул. А дальше обсуждается вопрос о так называемых основных решениях, т.е. удовлетворяющих условию (17) или (18). В теоремах 6-9 (действительно банальных) приводятся формулы для этих основных решений. И, наконец, в конце статьи автор утверждает, что банальное использование формул для основных решений (умножение $x$, $y$, $z$ на $k^2$, $k$, $k$ соответственно, где $k$ --- ещё один параметр) не даст всех решений уравнения (1). Вот в чём смысл той цитаты, что Вы привели. Теперь понятно, почему автор статьи довольно аккуратен? Или ещё нужно разъяснить формулировки теорем 1-4?

Батороев в сообщении #624108 писал(а):

Сдается мне, что рассмотрение в стиле данной статьи было когда-то на форуме.

Если Вы имеете в виду теоремы 1-4, то интересно было бы взглянуть. А вот если теоремы 6-8, то совершенно неинтересно.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #624221 писал(а):

Если Вы имеете в виду теоремы 1-4, то интересно было бы взглянуть. А вот если теоремы 6-8, то совершенно неинтересно.

Убежден, что для того, чтобы получить все решения, лучше брать четвертые степени последовательных натуральных чисел, представлять эти числа в виде произведения двух разных множителей одинаковой четности и раскладывать на разность квадратов:

$2^4=8\cdot 2=\left(\dfrac{8+2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{8-2}{2}\right)^2$

$3^4=81\cdot 1= 27\cdot 3=\left(\dfrac{81+1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{81-1}{2}\right)^2=\left(\dfrac{27+3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{27-3}{2}\right)^2$

$4^4=128\cdot 2= 64\cdot 4=32\cdot 8=\left(\dfrac{128+2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{128-2}{2}\right)^2=\left(\dfrac{64+4}{2}\right)^2-\left(\dfrac{64-4}{2}\right)^2=\left(\dfrac{32+8}{2}\right)^2-\left(\dfrac{32-8}{2}\right)^2$

и т.д.

При таком подходе я аккуратно получу ВСЕ решения (естественно, до четвертой степени некоторого числа) диофантового уравнения.
Выписывать же все возможные варианты формы , в которой можно записать числа в четвертой степени, на мой взгляд, дело неблагодатное*. Поэтому такими темами особо не интересуюсь, а посему не запоминаю. Отложилось лишь то, что кто-то долго-долго маялся в попытках описать все возможные варианты (может, пифагоровых троек, может, четвертых степеней (?)).

-- 28 сен 2012 15:56 --

* Например, в теоремах 1-4, как минимум, пропущены решения:
$x^4=k^4\cdot (...)^4=\left(\dfrac{k^4+(...)^4}{2}\right)^2-\left(\dfrac{k^4-(...)^4}{2}\right)^2$

[nnosipov]

Батороев в сообщении #624263 писал(а):

Например, в теоремах 1-4, как минимум, пропущены решения ...

А доказать, что они пропущены, Вы можете? Можете предъявить конкретное решение (т.е. конкретные числа $x$, $y$, $z$), которе получается по Вашим формулам и которое нельзя получить по формулам из теорем 1-4? По сути, Вы утверждаете, что автор статьи получил и опубликовал неверную теорему, и рецензент статьи этого не заметил? Довольно суровое обвинение для такого журнала. Такие обвинения не должны быть голословными.

[scwec]

Батороев, Вам очень хочется написать своё параметрическое решение? Напишите.
Порадуемся вместе с Вами. Но его пока не видно.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #624275 писал(а):

А доказать, что они пропущены, Вы можете? Можете предъявить конкретное решение (т.е. конкретные числа $x$, $y$, $z$), которе получается по Вашим формулам и которое нельзя получить по формулам из теорем 1-4? По сути, Вы утверждаете, что автор статьи получил и опубликовал неверную теорему, и рецензент статьи этого не заметил? Довольно суровое обвинение для такого журнала. Такие обвинения не должны быть голословными.

$x=6;z=325;y=323$
(обозначения, как в статье).

Позвольте в свою очередь спросить Вас: Публиковать теоремы без доказательств принято в математических журналах?

scwec в сообщении #624389 писал(а):

Батороев, Вам очень хочется написать своё параметрическое решение? Напишите.
Порадуемся вместе с Вами. Но его пока не видно.

Люди, которые о себе говорят во множественном числе, как минимум, настораживают.

Свое параметрическое решение мне писать нет надобности. Оно известно и без меня - разложение любого числа, кроме 1, 2, 4 и четных, не кратных 4, на разности квадратов. Числа в четвертой степени не входят в число исключений (разумеется, кроме 1).

[nnosipov]

Батороев в сообщении #624513 писал(а):

$x=6;z=325;y=323$
(обозначения, как в статье).

Не годится, потому что получается при $k=1$, $a=18$, $b=1$ по формулам из теоремы 1.

Батороев в сообщении #624513 писал(а):

Публиковать теоремы без доказательств принято в математических журналах?

А этого не было в данном случае. Ссылаться на доказанные факты в других работах вполне принято. Ровно это автор и сделал. Вы по-прежнему настаиваете на том, что теоремы 1-4 неверны? Извольте привести корректный контрпример.

Батороев в сообщении #624513 писал(а):

Люди, которые о себе говорят во множественном числе, ...

А где он говорил о себе во множественном числе? Он, очевидно, имел в виду нас --- участников этого обсуждения.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #624562 писал(а):

Батороев в сообщении #624513 писал(а):

$x=6;z=325;y=323$
(обозначения, как в статье).

Не годится, потому что получается при $k=1$, $a=18$, $b=1$ по формулам из теоремы 1.

Хорошо, по теореме 1 Вы мой контпример опротестовали. Теперь на очереди теорема 2.

nnosipov в сообщении #624562 писал(а):

Он, очевидно, имел в виду нас --- участников этого обсуждения.

А с чего бы человеку писать "за всех"?

[nnosipov]

Батороев в сообщении #624742 писал(а):

Теперь на очереди теорема 2.

А это уже Ваша работа. Вы же у нас в роли обвинителя --- вот и обосновывайте Ваши обвинения. Иначе Ваши заявления о неверности этих теорем ничего не стоят --- мало ли что кому почудилось. А статья прошла процедуру рецензирования, была принята к публикации и опубликована. В таких случаях обычно с корректностью результатов всё в порядке.

Кстати, если уж Вам так тяжело проверять Ваши "контрпримеры" --- воспользуйтесь компьютером (мне он сразу выдал $k=1$, $c=19$, $d=17$).

Батороев в сообщении #624742 писал(а):

А с чего бы человеку писать "за всех"?

Я здесь полностью солидарен со scwec. Если утверждаете, что можете дать лучшее описание всех решений, чем у автора статьи, --- выкладывайте, с удовольствием ознакомимся. А разговоры о том, что все вокруг ошибаются, а на самом деле всё очевидно и потому неинтересно --- отдают дилетанством.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #624770 писал(а):

Иначе Ваши заявления о неверности этих теорем ничего не стоят --- мало ли что кому почудилось. А статья прошла процедуру рецензирования, была принята к публикации и опубликована. В таких случаях обычно с корректностью результатов всё в порядке.

Кстати, если уж Вам так тяжело проверять Ваши "контрпримеры" --- воспользуйтесь компьютером (мне он сразу выдал $k=1$, $c=19$, $d=17$).

Согласен, что почудилось. Не до конца разобрался с обозначениями. Признаю свою ошибку.

nnosipov в сообщении #624770 писал(а):

Вы же у нас в роли обвинителя --- вот и обосновывайте Ваши обвинения.

Никого я не обвинял. Теперь уже Вам почудилось. Мне было лишь любопытно, зачем нужны такие сложности, если разложение числа в четвертой степени на разность квадратов также дает ВСЕ решения?
Ответ Ваш мне не нужен. Любопытство мое уже прошло.

nnosipov в сообщении #624770 писал(а):

А разговоры о том, что все вокруг ошибаются, а на самом деле всё очевидно и потому неинтересно --- отдают дилетанством.

Всех вокруг я не трогал. Не выдумывайте.
Свое дилетанство в области математики я никогда и ни от кого не скрывал. Меня можно, да и то с натяжкой, назвать любителем - любителем, которому иногда бывают интересны математические вопросы. Отшибить такой интерес у Вас получается очень хорошо.

[dalmat]

Общее решение уравнения
Решая уравнение $c=a^2-b^2$ как параметрическое с заданным параметром $c$, находим формулы для определения чисел [$a, b]$:
$a=\frac{c+q^2}{2q}$
$b=\frac{c-q^2}{2q}$.
Здесь $q$ -число, состоящее из сомножителей числа $c$. Если, например, число $c=def$, то $q=[d, e, f, de, df, ef]$. Количество решений зависит от количества простых сомножителей в числе $c$ и возможных их сочетаний. Если число $c$ содержит $k$ простых сомножителей, то общеее количество решений равно сумме сочетаний из числа $k$ по $1, 2, 3, ..., k-1 $. Очевидно, что число $q$ должно иметь одинаковую четность с числом $c.$
Из приведенных формул следует:
1. Простые числа $c$ равны разности квадратов двух чисел ($q=1$).
2.Числа, кратные $2$, (не $4!$), не равны разности квадратов двух чисел: числа $(2, 4, 6, 10, 14, 18, 22...).$
Приведенные формулы справедливы и в тех случаях, если число $c$, в свою очередь, является числом в любой степени $(c=p^m)$. Исключением является случай, если $c=2^2$: в этом случае решения нет.
Общее количество решений для числа $c,$ состоящего из $3$ простых сомножителей равно, если я не ошибся в расчетах, $65.$

[dalmat]

Исправление опечатки
Общее количество решений для числа $c$, равного произведению $3$ простых чисел, возведенному в квадрат, т.е. $c=(rst)^2$, равно $65.$ Кстати, полученные по приведенным формулам $65$ пар чисел $[a, b]$ вместе каждая с числом $c=(rst)^2$ будут представлять собой $65$ Пифагоровых троек чисел.