Что такое ковектор?

[g______d]

Munin в сообщении #623664 писал(а):

Вот только в теории матриц инвариантных терминов ещё нет. И попытки слишком упорно забывать об этом приводят к путанице, как у ewert и Oleg Zubelevich. У матрицы нет каких-либо законов преобразования. Матрица не есть матрица чего-то. Матрица - это просто матрица. Произведение матрицы $1\times n$ (строка) на матрицу $n\times 1$ (столбец) всегда даст матрицу $1\times 1$ (скаляр), хотя законов преобразования и здесь ни для кого не задано.

Если забыть о законах преобразования, то теряется основной смысл понятия ковектора. Какая разница, строка у нас или столбец, если всегда можно транспонировать?

Особенно если мы пытаемся приплести какие-то физические понятия. Мне вот кажется, что физики в первую очередь должны стремиться к инвариантным терминам, т. к. ясно же, что если физический закон выглядит одинаково в разных системах координат, то его можно записать без координат.

[type2b]

можно говорить отдельно про матрицы, столбцы и строки, но ковектор -- элемент дуального векторного пространства, и потому определяется именно в инвариантных терминах.
путаницы у ewert и O.Z. не вижу.

[Munin]

g______d в сообщении #623685 писал(а):

Если забыть о законах преобразования, то теряется основной смысл понятия ковектора.

Хм? Я думал, его основной смысл - линейный функционал.

Акцентировать внимание на законах преобразования - это распространённый среди физиков миф, но мне тут его здешние математики уже разъясняли, и я больше не ведусь. Законы преобразования, конечно, важны, но незачем их брать за определение.

g______d в сообщении #623685 писал(а):

Особенно если мы пытаемся приплести какие-то физические понятия. Мне вот кажется, что физики в первую очередь должны стремиться к инвариантным терминам, т. к. ясно же, что если физический закон выглядит одинаково в разных системах координат, то его можно записать без координат.

Безусловно, если речь идёт о физических понятиях: сила, давление, напряжение... Но если речь идёт о математических понятиях: число, матрица - то надо учитывать определение этих понятий. И не привносить в них физику.

type2b в сообщении #623690 писал(а):

путаницы у ewert и O.Z. не вижу.

ewert в сообщении #623519 писал(а):

А матрица может быть, в принципе, чего угодно; скажем, матрица билинейной формы.


Матрица - это просто матрица, сама по себе, таблица чисел. А использовать её как преобразование, билинейную форму, или как-то ещё, мы вправе сколько угодно раз. Не надо путать: есть матрица линейного преобразования, есть матрица билинейной формы, если у нас есть линейное пространство, в нём преобразование или билинейная форма, и мы вводим базис, и получаем матрицу; но не наоборот, сама по себе матрица не должна быть наделена таким смыслом. "Всякая селёдка - рыба, но не всякая рыба - селёдка."


Oleg Zubelevich в сообщении #623533 писал(а):

Хорошо видно, что в новых координатах первый столбец матрицы оператора не получен из какого-либо столбца его матрицы в старых координатах по контравариантному закону...


Та же проблема: для матриц самих по себе вообще нет "новых координат", они есть для линейных пространств, и матриц операторов в этих пространствах. С матрицами линейные пространства связаны не однозначно, хотя одна из интерпретаций и наиболее распространена. Можно обсудить линейное пространство векторов-столбцов, можно обсудить линейное пространство векторов-строк, можно обсудить вообще линейное пространство квадратных матриц. Во всех в них будут свои базисы, а если захочется - свои преобразования координат.

[type2b]

конечно линейный функционал, но вы определяете его, пользуясь уже выбранными координатами, т.к. оперируете с наборами чисел. Если же мы хотим не привязываться к координатам, то надо либо задать закон преобразования, либо определять абстрактно.

Реализация векторного пространства в виде пространства матриц, или столбцов, или строк -- просто простейший пример, в котором по-хорошему машинерия абстрактной линейной алгебры не нужна, поскольку есть канонический базис. Линейный функционал на матрицах или столбцах можно называть ковектором, но при фиксированном базисе это довольно бессмысленное понятие. Кроме того, происходящая отсюда интуиция может быть misleading. В частности, может возникнуть мысль, что ковектор -- транспонированный вектор. Но выше вам пытались пояснить, что это в общем случае не так, а верно лишь относительно ортогональных преобразований базиса.

[g______d]

Munin в сообщении #623723 писал(а):

Матрица - это просто матрица, сама по себе, таблица чисел. А использовать её как преобразование, билинейную форму, или как-то ещё, мы вправе сколько угодно раз. Не надо путать: есть матрица линейного преобразования, есть матрица билинейной формы, если у нас есть линейное пространство, в нём преобразование или билинейная форма, и мы вводим базис, и получаем матрицу; но не наоборот, сама по себе матрица не должна быть наделена таким смыслом. "Всякая селёдка - рыба, но не всякая рыба - селёдка."

Да, но даже умножение матриц --- это композиция линейных преобразований. Если говорить об абстрактных таблицах чисел, то довольно сложно будет мотивировать именно такую операцию умножения. Например, билинейные формы вообще нельзя умножать, а их, как было сказано выше, тоже можно записывать в виде матриц.

-- 27.09.2012, 00:15 --

Тем не менее, я могу попробовать более точно сформулировать определение вектора и ковектора через матрицы-строки и матрицы-столбцы. Вектор --- это линейное отображение из основного поля в векторное пространство (и оно будет записано матрицей-столбцом), а ковектор --- это отображение из пространства в основное поле. Значение ковектора на векторе --- это композиция (матричное произведение), и оно будет линейным отображением из основного поля в себя; пространство таких отображений канонически изоморфно основному полю. Но это как-то чересчур демагогично :)

[Munin]

type2b в сообщении #623764 писал(а):

конечно линейный функционал, но вы определяете его, пользуясь уже выбранными координатами, т.к. оперируете с наборами чисел. Если же мы хотим не привязываться к координатам, то надо либо задать закон преобразования, либо определять абстрактно.

Ничего плохого в абстрактном определении не вижу, и полагаю его стандартным.

type2b в сообщении #623764 писал(а):

Кроме того, происходящая отсюда интуиция может быть misleading. В частности, может возникнуть мысль, что ковектор -- транспонированный вектор.

Не понимаю, как к такому выводу можно прийти, если в абстрактном определении линейного пространства и векторов нет никакой операции "транспонирования"?

g______d в сообщении #623782 писал(а):

Да, но даже умножение матриц --- это композиция линейных преобразований.

Нет, умножение матриц - это умножение матриц. А умножение матриц линейных преобразований - это переход к матрице композиции этих линейных преобразований. Не спорю, но всё только при условии нагружения матриц дополнительным смыслом, которого в самом понятии матрицы нет.

g______d в сообщении #623782 писал(а):

Если говорить об абстрактных таблицах чисел, то довольно сложно будет мотивировать именно такую операцию умножения.

Разумеется, но мотивация понятия и само понятие - вещи разные, их стоит различать.

g______d в сообщении #623782 писал(а):

Тем не менее, я могу попробовать более точно сформулировать определение вектора и ковектора через матрицы-строки и матрицы-столбцы. Вектор --- это линейное отображение из основного поля в векторное пространство (и оно будет записано матрицей-столбцом), а ковектор --- это отображение из пространства в основное поле. Значение ковектора на векторе --- это композиция (матричное произведение), и оно будет линейным отображением из основного поля в себя; пространство таких отображений канонически изоморфно основному полю. Но это как-то чересчур демагогично :)

Не, почему, мне нравится :-) А значение вектора на ковекторе? :-)

[alcoholist]

Munin в сообщении #623807 писал(а):

А значение вектора на ковекторе?

Канонический изоморфизм конечномерного пространства и его второго сопряженного.

[Iby]

а кстати, можете пояснить, почему градиент показывает направление наибольшего возрастания функции? из его определения это не очевидно

[alcoholist]

Iby в сообщении #623840 писал(а):

а кстати, можете пояснить, почему градиент показывает направление наибольшего возрастания функции?

из данной точки $A$ идем по прямой $A+vt$ (афинная запись), тогда выражение

$$ \left\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\,f(A+vt)=(\nabla f(A),v) $$

принимает наибольшее значение на векторе $v$, коллинеарном градиенту (рассматриваем вектора с $\|v\|=1$)

[Iby]

а почему?
обоснуйте

[alcoholist]

Iby в сообщении #623886 писал(а):

а почему?
обоснуйте

всё обосновано: $(a,b)\le \|a\|\cdot \|b\|$, причем равенство достигается для сонаправленных векторов

[Iby]

обоснуйте равенство в вашем предыдущем сообщении

[alcoholist]

Iby в сообщении #623890 писал(а):

обоснуйте равенство в вашем предыдущем сообщении

прямой счет в координатах -- производная сложной функции, это упражнение Вы и самостоятельно осилите

[Iby]

я понял

-- 27.09.2012, 12:16 --

но вы рассматривали градиент как вектор, а рассмотрите его как ковектор

[alcoholist]

Iby в сообщении #623893 писал(а):

но вы рассматривали градиент как вектор, а рассмотрите его как ковектор

alcoholist в сообщении #623866 писал(а):

из данной точки $A$ идем по прямой $A+vt$ (афинная запись), тогда выражение

$$ \left\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\,f(A+vt)=(\nabla f(A),v) $$

принимает наибольшее значение на векторе $v$, коллинеарном градиенту (рассматриваем вектора с $\|v\|=1$)

последнее замечание в скобках существенно: вообще говоря, выражение $\left\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\,f(A+vt)$ не зависит ни от координат, ни от метрики и определено для любой дифф. функции на многообразии: $df_{A}(v)$ -- дифференциал, как ковектор, принимает значение на векторе ($v$ -- вектор касательного пространства в точке $A$). Про ``направление наибольшего роста'' можно говорить только если ``пространство направлений касательного пространства'' как-то отождествлено со сферой, например с единичной сферой некоторой метрики.