"Глубинный смысл" математических понятий

[shau-kote]

Munin в сообщении #622448 писал(а):

А чё это такое?

Индуктивное - "от частного к общему", изучение математики (да и любого другого предмета), следуя её основным этапам развития.
Дедуктивное - "от общего к частному" - изучение сначала уже сформировавшейся системы понятий, теорем и уже потом их прикладного применения в частных случаях.

Munin в сообщении #622448 писал(а):

освоить эти понятия так, что они станут вам не менее родными, чем бильярдные шары - можно, и даже стоит того.

Не подскажете, как можно достигнуть такого уровня "освоения"? Принять на данный момент как данность и двигаться дальше?

arseniiv в сообщении #622449 писал(а):

Для косинуса же не важно, какой из таких двух углов брать

Согласен, разумно. Кстати, возвращаясь к тому, что $ab\cos\alpha$ является линейным функционалом, в отличие от просто $\cos\alpha$.
Да, это так, но при этом несколько теряется смысл "степени коллинеарности", т.к. две пары векторов могут иметь равную "степень коллинеарности"(равное произведение векторов), но быть "в неравной степени коллинеарны"(иметь разные углы).

[Munin]

shau-kote в сообщении #622577 писал(а):

Индуктивное - "от частного к общему", изучение математики (да и любого другого предмета), следуя её основным этапам развития.

Не знаю, откуда вы это взяли, но следование основным этапам развития называется историческим подходом, и в дисцплинах типа математики - просто ошибка. В этих дисциплинах есть внутренняя логика, и именно следуя ей, и дают предмет студентам. Если ей не следовать, то получится ерунда: на людей высыплют кучу несвязанных кусочков паззла, и выбирайтесь как знаете.

А вот история математики как раз так и устроена: изучали сразу всё, и сразу не видели взаимосвязей одного с другим. Залезешь в какой-нибудь продвинутый-продвинутый раздел математики, а оказывается, им занимался ещё Архимед или Эйлер. Правда, "занимался" в том смысле, что чесал в затылке, и получил какой-нибудь единичный результат, а теорию-то полноценную разработали только в 20 веке.

А индукция "от частного к общему" и дедукция "от общего к частному" - это не методы преподавания, а методы познания.

shau-kote в сообщении #622577 писал(а):

Не подскажете, как можно достигнуть такого уровня "освоения"? Принять на данный момент как данность и двигаться дальше?

Принять как данность, но не двигаться дальше, а начать решать разные задачи, в том числе самостоятельно придуманные. До тех пор, пока не станет получаться легко.

Например, с векторами. Я вам рассказал, как в векторах выглядят понятия элементарной геометрии. А как бы вы выразили и доказали в векторах, например, признаки равенства треугольников?

[shau-kote]

Munin в сообщении #622642 писал(а):

Не знаю, откуда вы это взяли, но следование основным этапам развития называется историческим подходом

Ну, как минимум, из своего учебника по матанализу. Хотя и раньше неоднократно слышал и читал рассуждения на данную тему. И сам всегда считал, что следование основным рассуждениям, приведшим к данным понятиям, даёт большее понимание, нежели вываливание кучи понятий, без объяснения "откуда и куда". Хотя да, такое преподавание математики - дедуктивное - даёт возможность быстрее освоить матаппарат и научиться его применять.

Munin в сообщении #622642 писал(а):

А как бы вы выразили и доказали в векторах, например, признаки равенства треугольников?

Хм.
1) $\bar a = \bar a' \wedge \bar b = \bar b' \wedge \bar c = \bar c'$: очевидно, т.к. мы можем любой вектор перенести на равный ему до полного совпадения, а стало быть мы и треугольник, составленный из векторов, можем перенести на треугольник, составленный из таких же векторов.
2) $\bar a = \bar a' \wedge \bar b = \bar b' \wedge (\bar a \hat , \bar b) = (\bar a' \hat , \bar b')$: полагаю, можно говорить о равенстве векторных произведений, а стало быть и равенстве площадей, и, как следствие, равенстве треугольников.
3) $\bar a = \bar a' \wedge (\bar a \hat , \bar b) = (\bar a' \hat , \bar b') \wedge (\bar a \hat , \bar c) = (\bar a' \hat , \bar c')$: а вот как можно доказать, не знаю. Никогда не умел доказывать этот признак, и тут не смог. :(

[Munin]

shau-kote в сообщении #622684 писал(а):

Ну, как минимум, из своего учебника по матанализу.

Учебников по матанализу много разных. Назовите свой: авторов, название, желательно год и место издания.

shau-kote в сообщении #622684 писал(а):

Хотя и раньше неоднократно слышал и читал рассуждения на данную тему. И сам всегда считал, что следование основным рассуждениям, приведшим к данным понятиям, даёт большее понимание, нежели вываливание кучи понятий, без объяснения "откуда и куда".

Проблема в том, что так рассуждать любят те, кто не знают собственно истории математики, и как на самом деле шли исторические рассуждения, приведшие к данным понятиям. Этот путь гораздо более извилист и неестественен, чем то, что пишут в учебниках матанализа. В 10 раз более извилист, примерно. Вместо этого, даётся некая "мифология" на тему того, что привело к данным понятиям, которая по сути отражает не историческое развитие, а внутреннюю логику предмета - обоснование данных понятий. Излагать внутреннюю логику - ничего плохого, наоборот, хорошо, но называть это "историей" - это обман трудящихся.

shau-kote в сообщении #622684 писал(а):

Хм.
1) $\bar a = \bar a' \wedge \bar b = \bar b' \wedge \bar c = \bar c'$

Стоп. Переделывайте. В первом признаке говорится не о равенстве векторов, а о равенстве длин сторон. Равенство векторов - это равенство длин и направлений. И ещё, указание: в доказательствах используйте правила векторной алгебры.

[shau-kote]

Munin в сообщении #622706 писал(а):

Учебников по матанализу много разных. Назовите свой: авторов, название, желательно год и место издания.

В.Д. Морозова, серия "Математика в техническом университете", Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000 г.
В защиту учебника, уточню, что там говорится-де, такой (индуктивный) метод изучения непрактичен и нецелесообразен.

Munin в сообщении #622706 писал(а):

Этот путь гораздо более извилист и неестественен, чем то, что пишут в учебниках матанализа.

Хм. Но ведь не обязательно рассматривать все этапы, включая самые незначительные.
Можно обойтись и более грубым приближением.
Скажем, цепочка Архимед и прочие учёные древности - Ньютон и Лейбниц - современное положение, несмотря на своё ну очень грубое приближение даёт какое-никакое понимание, откуда взялось понятие интеграла и зачем.

Munin в сообщении #622706 писал(а):

Стоп. Переделывайте. В первом признаке говорится не о равенстве векторов, а о равенстве длин сторон. Равенство векторов - это равенство длин и направлений.

Виноват.
1) $|\bar a| = |\bar a'| \wedge |\bar b| = |\bar b'| \wedge |\bar c|= |\bar c'|$;
2) $|\bar a| = |\bar a'| \wedge |\bar b| = |\bar b'| \wedge (\bar a \hat , \bar b) = (\bar a' \hat , \bar b')$;
3) $|\bar a| = |\bar a'| \wedge (\bar a \hat , \bar b) = (\bar a' \hat , \bar b') \wedge (\bar a \hat , \bar c) = (\bar a' \hat , \bar c')$;

Munin в сообщении #622706 писал(а):

И ещё, указание: в доказательствах используйте правила векторной алгебры.

Не совсем понимаю, что Вы имеет в виду. :( Возможность переноса равных векторов до совпадение не есть постулат векторной алгебры? А равенство векторного произведение площади параллелограмма?

[Munin]

shau-kote в сообщении #622723 писал(а):

Хм. Но ведь не обязательно рассматривать все этапы, включая самые незначительные.
Можно обойтись и более грубым приближением.

Это напоминает "грубые приближения" траектории броуновской частицы. Если вы сделаете грубое приближение, то всё равно получите ненужно-извилистый путь, просто его извилины будут крупнее.

shau-kote в сообщении #622723 писал(а):

Скажем, цепочка Архимед и прочие учёные древности - Ньютон и Лейбниц

Правильно, так их! :-)

shau-kote в сообщении #622723 писал(а):

Не совсем понимаю, что Вы имеет в виду.

Я имею в виду, складывайте и умножайте, переносите из одной стороны в другую, подставляйте из одного уравнения в другое - что вы обычно с числовыми уравнениями делаете.

[shau-kote]

Munin в сообщении #622728 писал(а):

Правильно, так их!

Вы же поняли, что я имел в виду. (:

Munin в сообщении #622728 писал(а):

Я имею в виду, складывайте и умножайте, переносите из одной стороны в другую, подставляйте из одного уравнения в другое - что вы обычно с числовыми уравнениями делаете.

Прошу прощения, но какие уравнения Вы хотите складывать и умножать в доказательстве первого признака, если там и простыми логическими умозаключениями все доказывается на базе понятий векторной алгебры?

[Munin]

Хм. Сначала сформулируйте, что такое равенство треугольников само по себе. Может быть, я плохой пример выбрал, я над ним и минуты не думал, честно говоря.

[arseniiv]

Первый признак можно переписать так: $(|a|-|a'|)(|b|-|b'|)(|c|-|c'|) = 0$.

Мне тоже кажется, что пример плохой.

Может быть, лучше/интереснее описать формулу для расстояния между точкой и прямой, потом между прямой и прямой (непересекающимися), точкой и плоскостью и вообще любыми двумя линейными многообразиями.

[Xaositect]

shau-kote в сообщении #622723 писал(а):

1) $|\bar a| = |\bar a'| \wedge |\bar b| = |\bar b'| \wedge |\bar c|= |\bar c'|$;
2) $|\bar a| = |\bar a'| \wedge |\bar b| = |\bar b'| \wedge (\bar a \hat , \bar b) = (\bar a' \hat , \bar b')$;
3) $|\bar a| = |\bar a'| \wedge (\bar a \hat , \bar b) = (\bar a' \hat , \bar b') \wedge (\bar a \hat , \bar c) = (\bar a' \hat , \bar c')$;

arseniiv в сообщении #622747 писал(а):

Первый признак можно переписать так: $(|a|-|a'|)(|b|-|b'|)(|c|-|c'|) = 0$.

Мне тоже кажется, что пример плохой.

А почему Вы все пишете условие первого признака, а не его утверждение?

[arseniiv]

$$(|a-b|-|a'-b'|)(|b-c|-|b'-c'|)(|c-a|-|c'-a'|) = 0 \Leftrightarrow (a, b, c) \cong (a', b', c')?$$

Правда, это не совсем то получается — какие-то ориентированные треугольники.

$$\exists \sigma\in S_{\{a',b',c'\}} \;\;(|a-b|-|\sigma a'-\sigma b'|)(|b-c|-|\sigma b'-\sigma c'|)(|c-a|-|\sigma c'-\sigma a'|) = 0 \Leftrightarrow \{a, b, c\} \cong \{a', b', c'\},$$

при том что

$$A\cong B :\Leftrightarrow \exists f\; \left(\forall a,b\;\; |f(a)-f(b)| = |a-b|\right)\wedge B = f(A).$$

-- Пн сен 24, 2012 01:20:37 --

Ну, вместо $\{a, b, c\} \cong \{a', b', c'\}$ надо поставить, конечно, что-то типа $\operatorname{\triangle}(a, b, c)\cong\operatorname{\triangle}(a', b', c')$, кому нужен треугольник со сторонами, кому — с внутренностью…

[shau-kote]

Munin, не поведаете Ваше решение?
А то я сколько думал, так и не понял, что вы хотели этим показать. :\

[Munin]

Ну, с учётом того, что пример плохой, исправим его так: назовём треугольники равными, если равны их элементы, то есть стороны и углы. Тогда задача сводится к такой: из того, что некоторые элементы равны, получить равенство других элементов, недостающих. Скажем, первый признак переформулируется так:

$$a=a'\,\,\wedge\,\,b=b'\,\,\wedge\,\,|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=|\mathbf{a}'-\mathbf{b}'|\quad\Rightarrow\quad\tfrac{\mathbf{ab}}{ab}=\tfrac{\mathbf{a'b'}}{a'b'}\,\,\wedge\,\,\tfrac{\mathbf{a(a-b)}}{a|\mathbf{a}-\mathbf{b}|}=\tfrac{\mathbf{a'(a'-b')}}{a'|\mathbf{a}'-\mathbf{b}'|}\,\,\wedge\,\,\tfrac{\mathbf{(a-b)b}}{|\mathbf{a}-\mathbf{b}|b}=\tfrac{\mathbf{(a'-b')b'}}{|\mathbf{a}'-\mathbf{b}'|b'}$$

Очевидно, что достаточно доказать только равенства числителей, потому что в знаменателях только числовые множители, равные из условия:

$$\mathbf{ab}=\mathbf{a'b'}\,\,\wedge\,\,\mathbf{a(a-b)}=\mathbf{a'(a'-b')}\,\,\wedge\,\,\mathbf{(a-b)b}=\mathbf{(a'-b')b'}$$

Раскроем скобки, и получим:

$$\mathbf{ab}=\mathbf{a'b'}\,\,\wedge\,\,a^2-\mathbf{ab}=a'^2-\mathbf{a'b'}\,\,\wedge\,\,\mathbf{ab}-b^2=\mathbf{a'b'}-b'^2$$

и ещё раз используем равенства чисел:

$$\mathbf{ab}=\mathbf{a'b'}\qquad(*)$$

Вот и всё, что нужно доказать.

Теперь, запишем равенство модулей в условиях подробней:

$$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=|\mathbf{a}'-\mathbf{b}'|$$

$$\sqrt{(\mathbf{a}-\mathbf{b})^2}=\sqrt{(\mathbf{a}'-\mathbf{b}')^2}$$

$$(\mathbf{a}-\mathbf{b})^2=(\mathbf{a}'-\mathbf{b}')^2$$

$$a^2-2\mathbf{ab}+b^2=a'^2-2\mathbf{a'b'}+b'^2$$

Сокращая равные числа по обе стороны, получаем искомое:

$$-2\mathbf{ab}=-2\mathbf{a'b'}\qquad(*)$$

Что и требовалось доказать.

[shau-kote]

Любопытно. Хотя, конечно, целесообразность такого огорода не совсем понятна.
Но спасибо.

[Munin]

Целесообразность такого "огорода" в том, что вы не задумываетесь вообще о геометрическом смысле того, что делаете, а просто по элементарным правилам преобразуете выражения, как в алгебре. Таким способом можно получать результаты быстрее и в больших количествах, чем каждый раз индивидуально решая геометрическую задачу.