Найти сумму ряда

[ogcjm]

Не получается найти сумму ряда, составленного из биномиальных коэффициентов :

$ c(2^n,1) + c(2^n,3) + c(2^n, 5) +...+ c(2^n , 2 ^ n - 1) $

Как найти сумму?

[gris]

Сумма "нечётных" плюс сумма "чётных" равна сумме "всех". А сумма "нечётных" (что делает?) сумме "чётных"?
Кстати, записывать лучше так:

$$\binom{2^n}{1} + \binom{2^n}{3} +...+ \binom{2^n}{2 ^ n - 1} $$

или

$$C_{2^n}^{1} + C_{2^n}^{3} +...+ C_{2^n}^{2 ^ n - 1} $$

[ogcjm]

Всё спасибо, всё решил. Использовал известное равенство из комбинаторики:

$ C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + c(n - 1, k) $

Получился ответ:

$ 2 ^ {2 ^ {n} - 1} $

Я бы с удовольствие записал числа сочетаний и по другому. Но пока не знаю как)

-- 23.09.2012, 20:53 --

Вы имели какое-то другое отношение между суммой "чётных" и суммой "нечётных"?

[Sonic86]

Можно заметить, что $2^n$ - это для отвода глаз. Можно спокойно заменить $2^n$ на $m$, например.

[Mitrius_Math]

Cумму биноминальных коэффициентов можно найти, положив в биноме Ньютона $x=y=1$.

[ogcjm]

Да, заменить можно. Но что это даст?

-- 23.09.2012, 21:04 --

Mitrius_Math в сообщении #622709 писал(а):

Cумму биноминальных коэффициентов можно найти, положив в биноме Ньютона $x=y=1$.

О, спасибо. Буду теперь в курсе).

[Sonic86]

ogcjm в сообщении #622710 писал(а):

Да, заменить можно. Но что это даст?

Увеличивает общность формулы. Потом из памяти вызывается именно эта общая формула (не думайте, что я что-то сложное или важное сказал - просто мелочь)