2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти сумму ряда
Сообщение23.09.2012, 19:14 
Не получается найти сумму ряда, составленного из биномиальных коэффициентов :

$
c(2^n,1) + c(2^n,3) + c(2^n, 5) +...+ c(2^n , 2 ^ n - 1)

$

Как найти сумму?

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.09.2012, 19:20 
Аватара пользователя
Сумма "нечётных" плюс сумма "чётных" равна сумме "всех". А сумма "нечётных" (что делает?) сумме "чётных"?
Кстати, записывать лучше так:
$$\binom{2^n}{1} + \binom{2^n}{3} +...+ \binom{2^n}{2 ^ n - 1} $$ или
$$C_{2^n}^{1} + C_{2^n}^{3} +...+ C_{2^n}^{2 ^ n - 1} $$

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.09.2012, 19:46 
Всё спасибо, всё решил. Использовал известное равенство из комбинаторики:

$
   C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + c(n - 1, k)

$

Получился ответ:

$
  2 ^ {2 ^ {n} - 1}
$

Я бы с удовольствие записал числа сочетаний и по другому. Но пока не знаю как)

-- 23.09.2012, 20:53 --

Вы имели какое-то другое отношение между суммой "чётных" и суммой "нечётных"?

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.09.2012, 19:58 
Можно заметить, что $2^n$ - это для отвода глаз. Можно спокойно заменить $2^n$ на $m$, например.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.09.2012, 20:02 
Cумму биноминальных коэффициентов можно найти, положив в биноме Ньютона $x=y=1$.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.09.2012, 20:02 
Да, заменить можно. Но что это даст?

-- 23.09.2012, 21:04 --

Mitrius_Math в сообщении #622709 писал(а):

Cумму биноминальных коэффициентов можно найти, положив в биноме Ньютона $x=y=1$.



О, спасибо. Буду теперь в курсе).

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.09.2012, 20:20 
ogcjm в сообщении #622710 писал(а):
Да, заменить можно. Но что это даст?
Увеличивает общность формулы. Потом из памяти вызывается именно эта общая формула (не думайте, что я что-то сложное или важное сказал - просто мелочь)

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group