"Глубинный смысл" математических понятий

[Iby]

интересно а на русском они есть?

[Munin]

shau-kote в сообщении #622130 писал(а):

Кхм. Я искал простой смысл некоторых математических понятий, а Вы выдали мне ещё больше математических понятий.

Ну а что значит "простой"? Математические понятия по определению живут в своём математическом мире, и к нашему отношения не имеют (точнее, их можно прикладывать к нашему миру, но это отдельная история, самих математических понятий не меняющая).

Вот есть числа. Их удобно складывать и умножать. Если мы возьмём многомерное пространство, то вместо чисел будет удобно складывать и умножать векторы. Вот и всё. Никакого более простого смысла тут не вижу.

Извините, мне жаль, что не помог. Но если бы вы больше рассказали, чего именно вам хочется, чего не нравится в объяснениях, или привели свой собственный пример "простого" или "глубинного смысла" чего-нибудь математического, может быть, смог бы помочь больше.

[shau-kote]

Munin, простите, Вы случайно не математик? (:

Вот возьмём, к примеру производную.
Мы можем сказать, что-де, бла-бла-бла, это отношение $\Delta y$ к $\Delta x$ при $\Delta x \to 0$. Да, это определение формализовано и точно. Но понимания оно не даёт.
А можем рассмотреть производную как величину, характеризующую скорость роста функции.
Тогда она становится значительно более понятной. Тогда становится понятно её графическое представление - касательная, как и все её прикладные приложения. Как и откуда взято её определение.

А тут мы имеем определение - $ab\cos\alpha$, к примеру - но не малейшего понятие, с какого такого потолка, оно взято и, главное, зачем.

[Nemiroff]

shau-kote в сообщении #622138 писал(а):

А тут мы имеем определение - $ab\cos\alpha$, к примеру - но не малейшего понятие, с какого такого потолка, оно взято и, главное, зачем.

Ну скажем так, скалярное произведение характеризует степень коллинеарности двух векторов - то бишь, насколько два вектора лежат вдоль одной прямой и вдоль одного направления на этой прямой.
Определение говорит нам, что скалярное произведение - есть произведение проекции одного из векторов на другой на длину этого "другого", что, собственно, и есть "мера направленности".

[Munin]

shau-kote в сообщении #622138 писал(а):

А можем рассмотреть производную как величину, характеризующую скорость роста функции.

Ну, можем. А ещё - как касательную.

shau-kote в сообщении #622138 писал(а):

А тут мы имеем определение - $ab\cos\alpha$, к примеру - но не малейшего понятие, с какого такого потолка, оно взято и, главное, зачем.

Вы путаете несколько вещей. Прежде всего, смысл и возникновение. Возникновение - это рассказ об истории предмета. Тут, как уже упоминал мат-ламер, дело вышло из кватернионов. Кватернионы - это такие "числа", которые ещё на шаг продолжают цепочку вещественное число - комплексное число. То есть, вещественное число - комплексное число - кватернион - октонион, и так далее. Кватернион состоит из четырёх вещественных составляющих, которые принято называть "скалярной" и "векторной частью". Чтобы посчитать произведение кватернионов, надо вычислить несколько промежуточных результатов, которые и стали потом называться "скалярным произведением векторов" и "векторным произведением векторов".

Но это история. История не идёт прямыми путями. После того, как обнаружилось удобство использования векторов и скалярных и векторных произведений в механике и в электричестве, стало ясно, что кватернионы-то там и не нужны, и их отбросили как строительные леса. А получившиеся конструкции продолжили использовать. Вот с какого потолка это взято, и главное, зачем.

А вот смысл у них немножко другой. Смысл у них вот какой. Формулы - это удивительно мощный инструмент. Выглядят они, как простая игра со значками, которые можно переставлять, перебирать, нанизывать на ниточки, по очень простым правилам. Но при этом легко получаются результаты, смысл которых выходит за рамки этих значков. Та же производная: взяли, и по формальным правилам написали $(x^2)'=2x,$ а получили угол наклона касательной к параболе! Так вот, векторы - это ключ к такой же лёгкости в геометрии. Точнее, до векторов была координатная декартова геометрия. Она тоже легко давала мощные возможности, но всё-таки была не совсем удобна. Получалось по координатному методу, что треугольник, когда он выровнен по осям координат - это один треугольник, а стоит его повернуть - это другой треугольник. А с векторными обозначениями появилась возможность напрямую указывать точки, проводить линии, измерять длины, углы, опускать перпендикуляры, и всё что захочешь - и всё это формулами. И вот тут довольно важно удобно выбрать базовые операции. Наверное, из-за отсутствия таких операций, формульная геометрия и не развивалась до появления векторов. А тут появился такой набор, и оказался весьма хорош. (Чего в нём не хватает, то дают матрицы и тензоры.) Так им и пользуются.

Точка указывается просто вектором: $\vec{r}.$
Каноническое уравнение прямой: $\vec{r}-\vec{r}_0=\vec{v}\;\!t$
Общее уравнение прямой: $\vec{n}\;\!\vec{r}=p$
Длина отрезка: $l=|\vec{r}_2-\vec{r}_1\:\!\!|=\sqrt{(\vec{r}_2-\vec{r}_1)^2},$ где $\vec{a}^{\,2}=\vec{a}\;\!\vec{a}$
Угол: $\alpha=\arccos\tfrac{\vec{\vphantom{b}a}\,\vec{b}}{\left|\vec{\vphantom{b}a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}$
Перпендикуляр из точки на прямую: $\tfrac{1}{\,|\vec{v}|^2}(\vec{v}\;\!\vec{r}\;\!)\vec{v}$

Можно выбрать другой набор базовых элементов и операций. Вот только окажется ли он удобней - ещё вопрос. А "несовместимость" с другими математиками, невозможность говорить на одном языке, вы при этом получите. Впрочем, если ваш набор окажется сильно лучше, чем у других, то его у вас могут начать заимствовать. Такое в истории математики происходило много раз (те же кватернионы и векторы, тензоры и нотация Эйнштейна, внешние формы, и это всё только в одной узкой области). Правда, и обратного полно примеров: вводит человек нововведение, а оно никому не нравится и не нужно, и исчезает в забвении.

[Xaositect]

shau-kote в сообщении #622138 писал(а):

Вот возьмём, к примеру производную.
Мы можем сказать, что-де, бла-бла-бла, это отношение $\Delta y$ к $\Delta x$ при $\Delta x \to 0$. Да, это определение формализовано и точно. Но понимания оно не даёт.
А можем рассмотреть производную как величину, характеризующую скорость роста функции.
Тогда она становится значительно более понятной. Тогда становится понятно её графическое представление - касательная, как и все её прикладные приложения. Как и откуда взято её определение.

Это определение как раз и дает понимание (я, в отличие от Munin, математик :). Все просто думают, что понимают, что такое (мгновенная) скорость. Попробуйте объяснить, что такое скорость, и Вы придете к необходимости словами высказать как раз то самое определение, как Ньютон. Только ему было сложнее.
Определение же через предел разностного отношения как раз дает понимание --- оно говорит о том, что предел существует, то есть функция локально неотличима от линейной, и о значении этого предела, то есть окоэффициенте этой приближенной локальной зависимости.
А касательная --- это геометрический, то есть тоже математический объект. Просто как правило людям легче воспринимать свойства функций как свойства графиков. Оттуда же термин "выпуклость функции".

[Munin]

Xaositect в сообщении #622183 писал(а):

Это определение как раз и дает понимание (я, в отличие от Munin, математик :).

Согласен, сам думаю так же, но это понимание более высокого уровня, чем, видимо, имеет в виду вопрошающий, поэтому я о нём и не заводил речь.

[_Ivana]

О, а можно тоже поучаствовать во флуде? Насчет "глубинного смысла", или это прерогатива только заслуженных? Относительно производной и её понятности - мне кажется что она определяет причину, по которой функция ведет себя так или иначе. Сила постоянна -> ускорение постоянно -> скорость линейна -> координата квадратична. Следствие - интеграл причины по времени, и прочий метафизический детерминизм, от которого я воздержусь.

ЗЫ В этом смысле надо было бы поменять термины "производная" и "первообразная" местами, но думаю это предложение ждет участь

Цитата:

вводит человек нововведение, а оно никому не нравится и не нужно, и исчезает в забвении.

[arseniiv]

Nemiroff в сообщении #622143 писал(а):

Ну скажем так, скалярное произведение характеризует степень коллинеарности двух векторов - то бишь, насколько два вектора лежат вдоль одной прямой и вдоль одного направления на этой прямой.

Может, лучше не коллинеарности, а сонаправленности? О сонаправленности ортогональных векторов ничего не скажешь, вот и $0$. Противонаправленные «сонаправлены наоборот» — вот и $-1$. А мерой коллинеарности можно считать, например, квадрат скалярного произведения.

[shau-kote]

Munin, ух ты, спасибо за столь любопытный экскурс. Весьма познавательно, хотя и не до конца понятно (оно и не удивительно, в общем-то). (:
Сейчас подумал, может быть мне целесообразно переформулировать свой вопрос, как поиск книг по "математической истории"?..

Xaositect, эмм, а в чём проблема? С моей сугубо физической точки зрения довольно очевидно, что если тело движется с переменной скоростью, то в каждый конкретный момент времени оно движется с какой-то конкретной скоростью, и лишь невозможность вычислить эту скорость скорость более элементарными способами рождает необходимость перейти к пределам.

-- 22.09.2012, 14:25 --

Nemiroff в сообщении #622143 писал(а):

скалярное произведение характеризует степень коллинеарности двух векторов

Интересное объяснение, впервые встречаю. Правда, если опираться на него, то непонятно, зачем там $ab$, "степень коллинеарности" вполне можно характеризовать и одним косинусом. Как, впрочем, и синусом.

Munin в сообщении #622194 писал(а):

это понимание более высокого уровня

Простите, не уточните, о каком "понимании более высокого уровня" Вы говорите?

[arseniiv]

shau-kote в сообщении #622276 писал(а):

Правда, если опираться на него, то непонятно, зачем там $ab$, "степень коллинеарности" вполне можно характеризовать и одним косинусом. Как, впрочем, и синусом.

(Ну, синус покажет другое.) А это уже из-за дополнительных удобств: оно становится линейным по каждому аргументу. К тому же, через такое скалярное произведение и длина определяется легко.

[Munin]

shau-kote в сообщении #622276 писал(а):

Munin, ух ты, спасибо за столь любопытный экскурс. Весьма познавательно, хотя и не до конца понятно (оно и не удивительно, в общем-то). (:
Сейчас подумал, может быть мне целесообразно переформулировать свой вопрос, как поиск книг по "математической истории"?..

В общем, история математики - замечательная вещь, но я хочу предупредить. В ней, как и в истории любой науки, чтобы правильно и полностью понять историю, надо заранее уже разбираться во всех тех вещах, которые будут упомянуты. Например, рассказывают, как возникает теория матриц - надо уже знать, что такое матрицы, и какой вид их теория имеет сегодня. Это нужно для правильного понимания и оценки каждого поворота мысли "это они пошли в правильном направлении, а это не туда, оказалось бесперспективно". Соблазн выставлять такие оценки у вас будет в любом случае, но правильность оценок при незнании предмета будет 0 %.

shau-kote в сообщении #622276 писал(а):

Xaositect, эмм, а в чём проблема? С моей сугубо физической точки зрения довольно очевидно, что если тело движется с переменной скоростью, то в каждый конкретный момент времени оно движется с какой-то конкретной скоростью, и лишь невозможность вычислить эту скорость скорость более элементарными способами рождает необходимость перейти к пределам.

А предел-то может и не браться :-) Вы знакомы с броуновским движением? Математически оно соответствует функции, которая не имеет производной ни в одной точке :-)

shau-kote в сообщении #622276 писал(а):

Простите, не уточните, о каком "понимании более высокого уровня" Вы говорите?

Речь вот о чём. "Понимание" само по себе - это не какое-то волшебное "раскрытие сути". Это такое состояние ума, занимающегося какой-то темой или задачей, что у него начинает работать интуиция, без прикладывания осознанных усилий появляются выводы о том, что да как. Понимание бывает двух сортов. В первом случае вы занимаетесь новой темой, обдумываете её, и для вас новые понятия как-то ложатся на уже знакомые. Например, вы обдумываете летающие в прострастве и сталкивающиеся молекулы, и воображаете себе бильярдные шары. Дальше в дело вступает ваш уже имеющийся опыт с бильярдными шарами: вы себе можете их представить, и интуиция вам легко подсказывает, что с ними происходит. Тогда вы говорите, что "поняли", что там происходит с молекулами. А в другом случае, вы занимаетесь новыми понятиями самими по себе, настолько долго и разнообразно, что привыкаете к ним, и начитаете предугадывать ответ к разным задачам ещё до того момента, как сядете и посчитаете. Здесь тоже интуиция вам подсказывает, что происходит, но это уже интуиция новая, созданная специально и целенаправленно. И вот бывает, что наоборот, старые понятия ложатся на новые, и это тоже будет "понимание". О таком типе понимания и говорит Xaositect. В данном случае этот тип понимания лучше, потому что раньше был смутный и нечёткий образ, а получился гораздо более чёткий и однозначный. Но чтобы это действительно стало пониманием, нужно очень много возиться с функциями и пределами, а не отбубнить определение, порешать пару примеров, и побежать дальше.

[shau-kote]

arseniiv в [url=http://dxdy.ru/post622298.html#p622298]сообщении #622298[/url писал(а):

Ну, синус покажет другое.

Почему это вдруг?..

Munin в сообщении #622351 писал(а):

В общем, история математики - замечательная вещь, но я хочу предупредить. В ней, как и в истории любой науки, чтобы правильно и полностью понять историю, надо заранее уже разбираться во всех тех вещах, которые будут упомянуты. Например, рассказывают, как возникает теория матриц - надо уже знать, что такое матрицы, и какой вид их теория имеет сегодня. Это нужно для правильного понимания и оценки каждого поворота мысли "это они пошли в правильном направлении, а это не туда, оказалось бесперспективно". Соблазн выставлять такие оценки у вас будет в любом случае, но правильность оценок при незнании предмета будет 0 %.

Хм, а как же индуктивное и дедуктивное преподавание математики?

Munin в сообщении #622351 писал(а):

А предел-то может и не браться Вы знакомы с броуновским движением? Математически оно соответствует функции, которая не имеет производной ни в одной точке

Ну так там и о какой-то конкретной скорости в данный момент говорить довольно затруднительно.

Munin в сообщении #622351 писал(а):

бильярдные шары

Хороший пример. Возвращаясь к Вашему вопросу о том, что я вообще хочу, отвечу: я хочу найти бильярдные шары для вышеобсуждаемых математический понятий.(:

Munin в сообщении #622351 писал(а):

старые понятия ложатся на новые

Идею понял. Согласен, это очень ценно.

[Munin]

shau-kote в сообщении #622442 писал(а):

Хм, а как же индуктивное и дедуктивное преподавание математики?

А чё это такое?

shau-kote в сообщении #622442 писал(а):

Ну так там и о какой-то конкретной скорости в данный момент говорить довольно затруднительно.

Ну да, именно.

shau-kote в сообщении #622442 писал(а):

Хороший пример. Возвращаясь к Вашему вопросу о том, что я вообще хочу, отвечу: я хочу найти бильярдные шары для вышеобсуждаемых математический понятий.(:

Проблема в том, что их нет. Зато освоить эти понятия так, что они станут вам не менее родными, чем бильярдные шары - можно, и даже нужно стоит того.

-- 22.09.2012 20:59:36 --

Насчёт бильярдных шаров для векторов. Есть понятные линии со стрелочками. А есть ещё один образ. Он иногда даже принимается за базовый. Вообразите себе, что вектор - это параллельный перенос плоскости. Сумма векторов - два таких переноса.

[arseniiv]

shau-kote в сообщении #622442 писал(а):

Почему это вдруг?..

Синус, наоборот, покажет «степень перпендикулярености» — для коллинеарных векторов ведь он $0$, а для ортогональных $\pm 1$ — смотря какой из двух углов, на которые делится полный угол направлениями векторов. Для косинуса же не важно, какой из таких двух углов брать, ведь $\cos\alpha = \cos(2\pi-\alpha)$. Когда нужно это свойство — берут косинус; когда нужно сохранить сведения об ориентации векторов — берут синус (из векторного произведения или внешнего, например). Зато косинус теряет информацию о знаке угла, а синус «не различает» острые и тупые углы. Ну, когда угол нужно знать точно, берут оба, конечно.