ЕГЭ-2012, задачи C6

[Rasool]

Задача из задачника ЕГЭ-2012, Вариант 2, Часть 2, задача C6.
Решить в натуральных числах систему уравнений

$$ \begin{cases} a^3 + b = c(a^2 + b^2)\\ a + b^3 = d(a^2 + b^2) \end{cases} $$

Т.е. фактически надо доказать, что кроме решения [1, 1, 1, 1] эта система не имеет решений.

Из соотношения

$$ a^2(a - c) + b (1 - bc) = 0 $$

я вывел, что

$$ a \geqslant c $$

,

$$ b \geqslant d $$

.
Так же из двух равенств системы установил, что

$$ a^\frac 3 2 \geqslant b \geqslant a^\frac 2 3 $$

.
Поскольку речь идет о натуральных числах, то возникает желание попробовать мат. индукцию, но здесь вроде это не работает.
Малая теорема Ферма? Тоже непонятно, как ее применить.

[nnosipov]

Rasool в сообщении #621034 писал(а):

Решить в натуральных числах систему уравнений ...

Это довольно странная переформулировка задачи LXII Московской олимпиады. Возможно, отсюда и Ваши проблемы при решении --- ни одно из Ваших предложений не годится. Рекомендую посмотреть оригинальное условие задачи и ещё раз подумать над решением.

[mihiv]

Отношение $\dfrac cd$ выражается из системы уравнений через $a$ и $b$ двумя способами: $\dfrac cd=\dfrac {a^3+b}{b^3+a}=\dfrac {a^3-b}{b^3-a}$ .

[venco]

mihiv в сообщении #621173 писал(а):

Отношение $\dfrac cd$ выражается из системы уравнений через $a$ и $b$ двумя способами: $\dfrac cd=\dfrac {a^3+b}{b^3+a}=\dfrac {a^3-b}{b^3-a}$ .

Вы уверены, что не ошиблись со вторым равенством?

[mihiv]

venco в сообщении #621212 писал(а):

Вы уверены, что не ошиблись со вторым равенством?

Действительно,ерунду написал.

[Rasool]

nnosipov в сообщении #621038 писал(а):

Rasool в сообщении #621034 писал(а):

Решить в натуральных числах систему уравнений ...

Это довольно странная переформулировка задачи LXII Московской олимпиады. Возможно, отсюда и Ваши проблемы при решении --- ни одно из Ваших предложений не годится. Рекомендую посмотреть оригинальное условие задачи и ещё раз подумать над решением.

В Яндексе по поводу LXII Московской олимпиады нашел только следующую ссылку: http://school-collection.edu.ru/catalog/res/19f81adb-d302-fd98-7a85-f01129d13aaf/view/. Там не нашел задач, подобных моей.

[nnosipov]

http://www.mccme.ru/olympiads/mmo/1999/index.htm#10kl Задача 10.3

[TOTAL]

Если доказать, что $a$ и $b$ взаимно просты, что $a>b$ и $a>c,$ то из первого уравения $\displaystyle (a-c) = \frac{b(bc-1)}{a^2}$ следует, что $bc=1.$

[nnosipov]

TOTAL в сообщении #621712 писал(а):

Если доказать, что $a$ и $b$ взаимно просты ...

Да, это главный момент в решении задачи. Сделать это можно разными способами.

[Rasool]

На одном форуме предложили следующее решение задачи:
Введем новые переменные:
$x = a - b$ (х - целое),
$ y = ab$ (у - натуральное).

Вычтем первое уравнение из второго:
$ a^3 + b - a - b^3 = (c - d)(a^2 + b^2)$.

Подставляем новые переменные:
$ x^3 + 3xy - x = (c - d)(x^2 + 2y)$
$ c - d = x(x^2 + 3y - 1)/(x^2+2y) = x + x(y - 1)/(x^2 + 2y)$
Обе части уравнения по условию - целые числа, х - тоже целое, отсюда:
$ (y - 1) / (x^2 + 2y)$ - тоже целое. Это возможно только если $ x = 0, y = 1$.
Следовательно $a = b = 1$, а значит и $c = d = 1$.

[nnosipov]

Rasool в сообщении #622986 писал(а):

Обе части уравнения по условию - целые числа, х - тоже целое, отсюда:
$ (y - 1) / (x^2 + 2y)$ - тоже целое.

А это ещё требуется доказать. Пока можно только утверждать, что число $x(y-1)/(x^2+2y)$ --- целое, что бывает для многих пар $(x,y)$.

[Батороев]

Rasool в сообщении #621034 писал(а):

Задача из задачника ЕГЭ-2012, Вариант 2, Часть 2, задача C6.
Решить в натуральных числах систему уравнений

$$ \begin{cases} a^3 + b = c(a^2 + b^2)\\ a + b^3 = d(a^2 + b^2) \end{cases} $$

$c+d=\dfrac {a^3+b^3+a+b}{a^2+b^2}=\dfrac{(a+b)(a^2+b^2)-(ab-1)}{a^2+b^2}$

$a+b-c-d=\dfrac{ab-1}{a^2+b^2}$ (1)

$\dfrac{ab-1}{a^2+b^2} \leq \dfrac{ab}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}}-\leq \dfrac{1}{2}$

Равенство (1) возможно только при $a=b=c=d=1$. В остальных случаях в левой части (1) целое число, в правой - положительное, меньшее $\dfrac {1}{2}$.

[nnosipov]

Что-то я сомневаюсь в равенстве номер два.

[Батороев]

$a^3+b^3+a+b=(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+b)=(a+b)(a^2+b^2-ab+1)$

[nnosipov]

Вы забыли $ab-1$ умножить на $a+b$.