Континуальный интеграл

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #620105 писал(а):

Тогда не очень понятно, как вводить определение континуального интеграла.

Как я понимаю, надо ввести величину $S(q_1,q_2)=\int\limits_{t_1}^{t_2} dt L(q,\dot q,t) $, где $q_1=q(t_1) $, $q_2=q(t_2) $ и с помощью неё определять интеграл (2.19), но ничего кроме как
$\left\langle q' \left\lvert U \right\rvert q'' \right\rangle =\left(\cfrac{m}{2\pi\hbar\varepsilon} \right)^\frac{n}{2} \int dq_n \left( \cdots \left( \int dq_2 \left(\int dq_1 e^{-\cfrac{S(q,q_1)}{\hbar}}\right) e^{-\cfrac{S(q_1,q_2)}{\hbar}} \right) \cdots \right) e^{-\cfrac{S(q_n,q'')}{\hbar}} $
мне в голову не приходит.

Так и есть, только скобки лишние (или только одна, самая левая закрывающая лишняя и её надо справа поставить) и предел $n\to\infty$ надо поставить.

[EvilPhysicist]

espe в сообщении #620183 писал(а):

Так и есть, только скобки лишние (или только одна, самая левая закрывающая лишняя и её надо справа поставить) и предел $n\to\infty$ надо поставить.

То есть

$$ \left\langle q' \left\lvert U \right\rvert q'' \right\rangle = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\cfrac{mn}{2\pi\hbar(t''-t')} \right)^\frac{n}{2} \int dq_n \exp\left[-\cfrac{S(q_n,q'')}{\hbar}\right] \cdots \int dq_1 \exp\left[-\cfrac{S(q_1,q_2)}{\hbar}\right] $$

, где $\int dq_k $ - оператор, действующий на всё, что справа.

И, по идее, мы должны строить разбиение отрезка $[t',t''] $, потом по этому разбиению считать что-то вроде этого $\Sigma= \left(\cfrac{m\max(t_k-t_{k-1})}{2\pi\hbar(t''-t')} \right)^\frac{n}{2} \int dq_n \exp\left[-\cfrac{S(q_n,q'')}{\hbar}\right] \cdots \int dq_1 \exp\left[-\cfrac{S(q_1,q_2)}{\hbar}\right] $
и называть число $K$ континуальным интегралом тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon>0 \exists \delta(\varepsilon)>0 $ такое, что для любого разбиения, с диаметром меньше $ \delta(\varepsilno)$ разность между $K $ и $\Sigma $ меньше $ \varepsilon$?

[Munin]

EvilPhysicist
А вы по Фейнману-Хибсу читать не пробовали? Ещё (помимо отдельных глав в куче учебников по КТП) этому интегралу посвящена книга Рамона (Ramond) "Теория поля. Современный вводный курс".

-- 17.09.2012 21:13:02 --

fizeg в сообщении #620138 писал(а):

Например эффективный потенциал Коулмена-Вайнберга дает понять, что в безмассовой скалярной электродинамике нарушение симметрии таки должно произойти, несмотря на то, что в классическом действии его вообще не будет (да и попробуй это осознай просто вычисляя диаграммы)

А можно поподробней? Или где почитать.

[espe]

Я имел ввиду

EvilPhysicist в сообщении #620105 писал(а):

$\left\langle q' \left\lvert U \right\rvert q'' \right\rangle =\lim\limits_{n\to\infty}\left(\cfrac{m}{2\pi\hbar\varepsilon} \right)^\frac{n}{2} \int dq_n \left( \cdots \left( \int dq_2 \left(\int dq_1 e^{-\cfrac{S(q,q_1)}{\hbar}}e^{-\cfrac{S(q_1,q_2)}{\hbar}} \right) \cdots \right) e^{-\cfrac{S(q_n,q'')}{\hbar}} \right) $

А потом, если хотите, можете говорить слова, $\forall\varepsilon$ и т.д. Хотя тут можно выбирать разные $\varepsilon_k$ свои для каждого $t_k-t_{k-1}=\varepsilon_k$ и как тут все возможности перебрать, всё учесть в строгом определении я не знаю, хотя интуитивно понятно, что имеется ввиду. В физической литературе об этом не заморачиваются.

Ещё можно добавить, что не зависит от порядка взятия интегралов.

[fizeg]

Munin
У Пескина Шредера в части о перенормировках отдельные моменты (там где про эффективное действие для линейной сигма-модели) проскакивают, но собственно скалярная электродинамика идет как заключительный проект (в виде упражнений)

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #620195 писал(а):

А вы по Фейнману-Хибсу читать не пробовали?

Пробовал, не понравилось.

espe в сообщении #620205 писал(а):

Я имел ввиду

Теперь понял, про что вы.

espe в сообщении #620205 писал(а):

В физической литературе об этом не заморачиваются.

А в не физической?

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #620214 писал(а):

А в не физической?

Ну я одну математическую книгу знаю (наверняка есть ещё)

espe в сообщении #596955 писал(а):

Посмотрите книгу Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т., Континуальные интегралы. Там есть глава "Различные определения интегралов Фейнмана", может быть, что-нибудь понятное найдёте. Сам я её не читал, она для меня слишком математическая.

мне такие книги читать не рентабельно. Смотрите сами, что там пишут.

Вообще, если вы найдёте такую величину $K(q'',t''|q',t')$, такую, что (для любых $t'',t,t'$) выполняется

$$K(q'',t''|q',t')=\int K(q'',t''|q,t)K(q,t|q',t')dq,$$

то отсюда автоматически следуют все эти "$\forall\varepsilon$ и т.д." и $K(q'',t''|q',t')$ будет значением континуального интеграла. Для теорий с квадратичным действием $K(q'',t''|q',t')$ можно найти точно, для остальных нет. Поэтому непонятно за что биться в определении, если всё равно это нельзя проверить и сказать, что да, действительно, $X$ есть значение функционального интеграла, потому что для этой величины выполняется, что "$\forall\varepsilon$ и т.д." Разве что в надежде, что когда-нибудь это удасться сделать.