Уравнение a^6+4b^3=c^2 (отделено от темы ВТФ для n=3)

[ishhan]

Belfegor в сообщении #619280 писал(а):

Уважаемый ishhan! Полностью с Вами солидарен! Но, что мы можем предложить взамен тривиальных алгебраических преобразований? Похоже только такие же геометрические!
Сумма объемов двух кубов не равна третьему! Преобразуем:
Сумма площадей двух равнобедренных треугольников не равна площади третьего, если высоты являются натуральными числами, а основания, к которым опущены высоты - квадраты этих чисел. Это прорыв?

Это не прорыв а скорее проекция из многомерного пространства на плоскость.
Вот фигура иллюстрирующая ВТФ тождество :

$$(x+y-z)^3-x^3-y^3+z^3=3(x+y)(x-z)(y-z)$$

Легко доказывается, что 1 случай ВТФ3 невозможен потому, что она именно такая.
И не плоская, а как положено, имеет три измерения.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #620063 писал(а):

Легко доказывается, что 1 случай ВТФ3 невозможен потому, что она именно такая.
И не плоская, а как положено, имеет три измерения.

Уважаемый ishhan!
Впечатляет! Но какая связь с 1 случаем? Поясните!

[ishhan]

Потому что объём V этой фигуры равен:
$V=(x+y-z)^3-x^3-y^3+z^3$
Его так же можно записать в виде произведения:
$V=3(x+y)(x-z)(y-z)$


И если верна ВТФ3 то:
$(x+y-z)^3=3(x+y)(x-z)(y-z)$
А это в силу условий целостности означает, что одно из чисел $(x+y),(z-x),(z-y) $ а значит одно из $x,y,z$ делится на 3.
Геометрический смысл состоит в том, что ни один единичный кубик фигуры с объёмом $V=3(x+y)(x-z)(y-z)$
при повороте на 120 градусов вокруг главной диагонали не остаётся на месте, в то время как у фигуры с объёмом $V=(x+y-z)^3$ все единичные кубики число которых $x+y-z$ и которые нанизаны на главную диагональ, при повороте на 120 градусов остаются на месте.
Поэтому чёрный кубик(см. рис) с ребром $x+y-z$ не может иметь целочисленный объём равный $V=3(x+y)(x-z)(y-z)$

[Belfegor]

ishhan в сообщении #620063 писал(а):

Легко доказывается, что 1 случай ВТФ3 невозможен потому, что она именно такая

Уважаемый ishhan! А в чем червоточина? Что не нравиться метрам? А второй случай?

-- Вт сен 18, 2012 21:16:31 --

Уважаемый ishhan! Помните: "Я знаю ещё восемь эквивалентных способов записи ВТФ (в общем виде) для нечётных простых показателей и в частности для n=3:
$x^3+y^3=z^3$
и его пара:
$(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$
Затем следуют ещё три парочки:
1)$(x+y-z)^3=x^3+y^3$
и
$z^3=3(x+y)(z-x)(z-y) $..."

Как вы получили $(x+y-z)^3=x^3+y^3$?

[ishhan]

Belfegor в сообщении #620683 писал(а):

Как вы получили $(x+y-z)^3=x^3+y^3$?

Из тождества

$$(x+y-z)^3-x^3-y^3+z^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$$

Просто убрал, то есть приравнял нулю, первые три куба в левой части тождества.
В словесной формуле ВТФ3 участвуют три произвольных куба и для этого обычно используют три независимых символа $x,y,z$.
Ту же самую словесную формулу представляет запись , в которой один из кубов пусть $z$, будет записан в виде $z=x+y-z_1$ и это ничему не противоречит.
Но главное- это тождество в котором фигурирует четыре числа в третьей степени:

$-x$

$-y$

$z$

$x+y-z$

(причём алгебраическая сумма этих чисел равна нуль)
Если предположить верность ВТФ3, то из левой части тождества можно исключить любые три из четырёх кубов
$(x+y-z)^3,-x^3,-y^3,+z^3$
Таким образом и получаются восемь вариантов:
четыре записи ВТФ3 одна из которых содержит привычную тройку $x,y,z$ и три не совсем привычные записи для троек
$x,y,x+y-z$

$y,z,x+y-z$

$x,z,x+y-z$

и четыре мнимых ВТФ3 имеющих непривычный вид и мультипликативную запись типа $-x^3=3(z-x)(z-y)(x+y)$

В самом общем случае можно вместо $x,y,z$ ввести новые переменные $x_1,y_1,z_1$
Например:

$x=x_1+y_1-z_1$

$y=x_1-y_1+z_1$

$z=-x_1+y_1+z_1$

В этих обозначениях уравнение Ферма запишется как:

$(x_1+y_1-z_1)^n+(x_1-y_1+z_1)^n=(-x_1+y_1+z_1)^n$


каждой произвольной тройке $x,y,z$ будет соответствовать единственное решение или тройка $x_1,y_1,z_1$

Belfegor в сообщении #620683 писал(а):

А в чем червоточина? Что не нравиться метрам?

Нет никакой червоточины.
Эти алгебраические записи давно известны.
Но геометрический смысл ВТФ в моей трактовке, пока никто не описывал.
Его можно также использовать для доказательства малой теоремы Ферма.
Так фигура имеющая объём $v= X^n-X$ ($n$-простое) представляет собой куб с ребром $X$из которого удалены единичные кубики лежащие на главной диагонали их всего $X$ штук.
И поскольку главная диагональ куба является его поворотной осью симметрии n-го порядка то при повороте ни один из единичных кубиков не останется на месте.
Так как главную диагональ мы удалили, а именно её кубики при повороте остаются на месте.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #620765 писал(а):

Из тождества

$$(x+y-z)^3-x^3-y^3+z^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$$

Просто убрал, то есть приравнял нулю, первые три куба в левой части тождества.

Уважаемый ishhan! Не очень понимаю ваши преобразования!
Ведь если $(x+y-z)^3-x^3-y^3=0$, тогда следует, что $(x+y-z)^3=z^3$, а это неверно, так как
$(x+y-z) < z$. Разве не так?

[Cash]

Цитата:

Ведь если $(x+y-z)^3-x^3-y^3=0$, тогда следует, что $(x+y-z)^3=z^3$

А какие основания полагать, что $(x+y-z)^3-x^3-y^3=0$?

[Belfegor]

Cash в сообщении #620931 писал(а):

А какие основания полагать, что $(x+y-z)^3-x^3-y^3=0$?

Уважаемый Cash! Это вы у меня спрашиваете?

[ishhan]

Belfegor в сообщении #620900 писал(а):

Уважаемый ishhan! Не очень понимаю ваши преобразования!
Ведь если $(x+y-z)^3-x^3-y^3=0$, тогда следует, что $(x+y-z)^3=z^3$, а это неверно, так как
$(x+y-z) < z$. Разве не так?

Господа!
Нельзя одновременно рассматривать два уравнения:

1)$(x+y-z)^3-x^3-y^3=0$

и

2) $x^3+y^3=z^3$

Ещё раз вспомните словесную формулу УФ.
Там присутствуют три произвольных куба один из которых записан в виде суммы двух других.
Для этого необходимо использовать три символа обычно это три буквы $x,y,z$ и соответственно $x^3+y^3=z^3$
Но, если один из кубов представлен, как линейная комбинация двух целых чисел $x,y,$ и третьего целого числа $z$:

$x+y-z$ и вместо привычного равенства Вы запишете:

$$ (x+y-z)^3=x^3+y^3$$

то словесная формула останется той же что и раньше: куб целого числа $x+y-z $ равен сумме двух целых кубов чисел $x$ и $y$ и так можно записать произвольную целочисленную тройку.
Но главное содержится в геометрическом смысле обусловленном свойствами симметрии куба.
P.S.А Вам понятен геометрический смысл малой теоремы Ферма, о котором упомянуто выше.

[venco]

ishhan в сообщении #621002 писал(а):

Нельзя одновременно рассматривать два уравнения:

1)$(x+y-z)^3-x^3-y^3=0$

Народ, а вы заметили, что это уравнение впервые в этой теме появилось в сообщении Belfegor, в котором он и спрашивал, откуда оно взялось?

[Belfegor]

venco в сообщении #621005 писал(а):

Народ, а вы заметили, что это уравнение впервые в этой теме появилось в сообщении Belfegor, в котором он и спрашивал, откуда оно взялось?

Уважаемый venco! Вы очень наблюдательны! Но всё в логике!
Я просто напомнил уважаемому ishhanу один из его восьми эквивалентных способов записи ВТФ и попросил разъяснений!

[venco]

Belfegor в сообщении #621071 писал(а):

Я просто напомнил уважаемому ishhanу один из его восьми эквивалентных способов записи ВТФ и попросил разъяснений!

Тогда обратите ваш вопрос к себе: откуда вы его взяли, и почему считаете эквивалентным.

[ishhan]

venco в сообщении #621080 писал(а):

Belfegor в сообщении #621071 писал(а):
Я просто напомнил уважаемому ishhanу один из его восьми эквивалентных способов записи ВТФ и попросил разъяснений!
Тогда обратите ваш вопрос к себе: откуда вы его взяли, и почему считаете эквивалентным.

Ответ по этому вопросу дан на три пункта выше.
P.S. А Вам уважаемый venco понятна симметрия геометрической фигуры в $n$ мерного пространства с объёмом $v= X^n-X$

[Belfegor]

ishhan в сообщении #621002 писал(а):

Господа!
Нельзя одновременно рассматривать два уравнения:

1)$(x+y-z)^3-x^3-y^3=0$
и
2) $x^3+y^3=z^3$

Уважаемый ishhan! Что значит нельзя?
1.
Было:
$x^3+y^3=z^3$

Преобразовали в :
$(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$

Добавили 0, исходя из $x^3+y^3=z^3$
Получили:
$(x+y-z)^3-x^3-y^3+z^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$

$(x+y-z)^3>0$, как не крути. Или опять я не в ту степь?

2. Геометрический смысл в стереометрии от меня ускользает....

-- Ср сен 19, 2012 19:48:12 --

venco в сообщении #621080 писал(а):

Тогда обратите ваш вопрос к себе: откуда вы его взяли, и почему считаете эквивалентным.

Уважаемый venco! Вы видимо не прочитали предыдущие посты! Не переживайте!
Вот прочтите внимательно:

Belfegor в сообщении #620683 писал(а):

Уважаемый ishhan! Помните: "Я знаю ещё восемь эквивалентных способов записи ВТФ (в общем виде) для нечётных простых показателей и в частности для n=3:

Обратите внимание на ключевое слово "Помните" - это я напоминаю уважаемому ishhanу его высказывание, видите дальше открываются кавычки! Так, что вопрос взялся откуда следовало, а слово "эквивалентный" принадлежит автору, а не мне.

[ishhan]

Belfegor в сообщении #621091 писал(а):

ishhan в сообщении #621002 писал(а):
Господа!
Нельзя одновременно рассматривать два уравнения:

1)$(x+y-z)^3-x^3-y^3=0$
и
2) $x^3+y^3=z^3$


Уважаемый ishhan! Что значит нельзя?

Вы эти два независимых уравнения рассматриваете подобно системе уравнений и поэтому получается нелепый результат: $(x+y-z)^3=z^3$
Корректнее было бы записать первое уравнение с нижним индексом :

1)$(x_1+y_1-z_1)^3-x_1^3-y_1^3=0$
Если от Вас ускользает геометрический смысл потрудитесь сделать геометрическую модель.
Для этого потребуется пластмассовый кубик от детского конструктора.