Уравнение a^6+4b^3=c^2 (отделено от темы ВТФ для n=3)

[venco]

klitemnestr в сообщении #616154 писал(а):

Числа $b=111$ и $p=54$ содержат общий сомножитель $3$: $b=111=3\cdot 37$; $p=54=3^3\cdot 2$.

Тем не менее равенство $b=kp$, которое вы дальше используете, неверно.

[klitemnestr]

Все наоборот: число $4b^3$ может делиться на $2p$ только в том случае, если число $b$ содержит сомножитель $p$, т.е. если $b=kp$, где $k$ любое число. Кстати, если Вы внимательно анализировали мои уравнения, то должны были обратить внимание на то, что $p$ должно быть четным числом и, следовательно, число $b=kp$ должно также быть четным числом.

[venco]

klitemnestr в сообщении #616174 писал(а):

Все наоборот: число $4b^3$ может делиться на $2p$ только в том случае, если число $b$ содержит сомножитель $p$, т.е. если $b=kp$, где $k$ любое число.

Любое или целое?

-- Сб сен 08, 2012 08:24:44 --

klitemnestr в сообщении #616174 писал(а):

Кстати, если Вы внимательно анализировали мои уравнения, то должны были обратить внимание на то, что $p$ должно быть четным числом и, следовательно, число $b=kp$ должно также быть четным числом.

Ещё раз обращу ваше внимание на пример $b=111, p=54$.

[nnosipov]

klitemnestr в сообщении #616174 писал(а):

Кстати, если Вы внимательно анализировали мои уравнения ...

А что там анализировать? Ничего содержательного Вы пока не сделали.

[Belfegor]

klitemnestr в сообщении #615876 писал(а):

Предлагаю вашему вниманию вариант преобразования приведенного здесь уравнения $a^6+4b^3=c^2$, точнее, его варианта:
$(c-a^3)(c+a^3)=4b^3$
Обозначим:
$c-a^3=p$

Уважаемый klitemnestr!
Из уравнения: $(c-a^3)(c+a^3)=4b^3$ следует, что
$(c-a^3)|4b^3$ и $(c+a^3)|4b^3$, а значит в "первом приближении" $4b^3=kt$
и $(c-a^3)=k$, а $(c+a^3)=t$, тогда:

$a^3=\frac{4b^3-k^2}{2k}$

$a^3=\frac{kt-k^2}{2k}$

$a^3=\frac{k(t-k)}{2k}$

$a^3=\frac{(t-k)}{2}$

И никаких чудес!

[Belfegor]

А ваша ошибка,вот здесь:

klitemnestr в сообщении #615876 писал(а):

Чтобы число $a^3$ было целым числом, число $b$ должно содержать сомножитель $p$ или, наоборот, число $p$ должно быть сомножителем числа $b$, т.е. должно быть:$b=kp$

А должно быть из начальных условий, вот так:
$4b^3=kp$
И дальше всё встанет на свои места (см. мой пример)

[klitemnestr]

$k$ любое целое число.
Даю общий метод нахождения или, вернее, принятия значений чисел $b,p$:
принимаем $b^3=m^3r^3$, $p=2m^3$;
получаем $a^3=\frac{4m^3(r^3-m^3)}{4m^3}=(r^3-m^3)$.

Уважаемый Belfegor,
уравнение можно решать и так, как Вы предложили, но и в Вашем решении вопрос целочисленности числа $a$ остается открытым.

Предлагаю вариант решения уравнения $a^3=\frac{4(kp)^3-p^2}{2p}$
$2a^3p-4k^3p^3+p^2=0$
$4k^3p^2-p-2a^3=0$
$p=\frac{1}{8k^3}\cdot(1+\sqrt{1+32k^3a^3)}$
Допустим, что $(1+32k^3a^3)=x^2$
Тогда: $x^2-1=32k^3a^3$
$(x-1)(x+1)=32k^3a^3$
Пусть $k=abc; a=rst$, где $(a,b,c,r,s,t)$ простые сомножители.
Тогда: $(x-1)(x+1)=2^5(abc)^3(rst)^3$.
$(x-1), (x+1)$ четные числа.
Определим разницу: $(x+1)-(x-1)=2$
Разность между четными числами $(x-1), (x+1)$ равна $2$.
Не представляется возможным из числа $2^5(abc)^3(rst)^3$ составить два четных сомножителя $(x-1), (x+1)$, разность между которыми равна $2$.
Следовательно, $(1+32k^3a^3)\ne x^2$ и, следовательно, число $p$ при заданном целом числе $a$ дробное число или, наоборот, при заданном целом числе $p$ число $a$ дробное.

[Belfegor]

klitemnestr в сообщении #616519 писал(а):

Уважаемый Belfegor,
уравнение можно решать и так, как Вы предложили, но и в Вашем решении вопрос целочисленности числа $a$ остается открытым.

Уважаемый klitemnestr! В "моем" решении всё однозначно, потому что $t$ и $k$ - четные числа! Это же очевидно!

[Belfegor]

klitemnestr в сообщении #616519 писал(а):

Даю общий метод нахождения или, вернее, принятия значений чисел $b,p$:
принимаем $b^3=m^3r^3$, $p=2m^3$;

Уважаемый klitemnestr ! У вас такая привычка переворачивать свои ошибки в "достижения"?
"Даю общий метод" - надо быть скромнее.

-- Вс сен 09, 2012 15:42:27 --

Хотя бы поблагодарили за подсказку
Было:

klitemnestr в сообщении #615876 писал(а):

$a^3=\frac{4b^3-p^2}{2p}$.

Стало:

klitemnestr в сообщении #616519 писал(а):

$a^3=\frac{4(kp)^3-p^2}{2p}$

[venco]

klitemnestr в сообщении #616519 писал(а):

$p=2m^3$

На каком основании?

[Belfegor]

И, главное, уважаемый klitemnestr!
После того как вы учли свою ошибку и выбрали вот этот вариант развития доказательства:

klitemnestr в сообщении #616519 писал(а):

принимаем $b^3=m^3r^3$, $p=2m^3$;
получаем $a^3=\frac{4m^3(r^3-m^3)}{4m^3}=(r^3-m^3)$.

Формула:

klitemnestr в сообщении #615876 писал(а):

$a^3=\frac{4b^3-p^2}{2p}$

прекращает свое существование, как неверная!
Вот же у вас она теперь в таком виде: $a^3=\frac{4m^3(r^3-m^3)}{4m^3}=(r^3-m^3)$
И здесь нет никаких квадратов.
И вот это всё просто не существует:

klitemnestr в сообщении #616519 писал(а):

Предлагаю вариант решения уравнения $a^3=\frac{4(kp)^3-p^2}{2p}$

и так далее

[klitemnestr]

Уважаемый Belfegor!
Если я Вас правильно понял, в ранее приведенном Вами доказательстве Вы исходите, по-моему, из ложной предпосылки, что числа $(c-a^3)$ и $(c+a^3)$ делятся на $4b^3$. Вы это не доказали.

Кроме того, здесь приводили примеры значений чисел $b,p$. Чтобы не комментировать возможные другие пары этих чисел, я привел общий метод подбора этих чисел. Но подбор чисел - это не метод решения исходного уравнения.

[ishhan]

Господа!
Это тупиковая ветвь лабиринта ВТФ.
Появятся ли у кого-нибудь свежие идеи, наделённые геометрическим смыслом?
Или ещё чем- то, может быть связанным с понятием симметрии или инвариантности...

klitemnestr в сообщении #618592 писал(а):

Уважаемый Belfegor!
Если я Вас правильно понял, в ранее приведенном Вами доказательстве Вы исходите, по-моему, из ложной предпосылки, что числа $(c-a^3)$ и $(c+a^3)$ делятся на $4b^3$. Вы это не доказали.

Кроме того, здесь приводили примеры значений чисел $b,p$. Чтобы не комментировать возможные другие пары этих чисел, я привел общий метод подбора этих чисел. Но подбор чисел - это не метод решения исходного уравнения.

Тривиальные алгебраические преобразования равенства ВТФ уже порядком надоели

[klitemnestr]

Еще одно преобразование
Пусть $b=2cdq;$ $p=2q^2$.
$c, d, q$ -простые числа.
Тогда: $a^3=\frac{4b^3-p^2}{2p}=\frac{4(2cdq)^3-(2q^2)^2}{4q^2}=\frac{4q^3[(2ac)^3-q]}{4q^2}=q[(2ac)^3-q]$.
Позволю себе выразить уверенность, что поскольку $q$ -простое число, то $a$ - дробное число, т.к. число $[(2ac)^3-q]$ не делится на $q$ и, следовательно, на $q^2$, т.е. не содержит сомножитель $q^2.$
P.S.Число $(xyz\pm t)$ не делится на $t$. Здесь $(x, y, z)$ -простые числа, число $t$ не равно произведению $xy, xz, yz$.
И еще. Можно рассмотреть вариант: $b=cdeq;$ $p=2(eq)^2$. Результат и вывод будет тот же самый.

[Belfegor]

klitemnestr в сообщении #618592 писал(а):

Если я Вас правильно понял, в ранее приведенном Вами доказательстве Вы исходите, по-моему, из ложной предпосылки, что числа $(c-a^3)$ и $(c+a^3)$ делятся на $4b^3$. Вы это не доказали.

Уважаемый klitemnestr! Не делятся, а являются сомножителями! Вы, что предлагаете подискутировать по этому очевидному факту?

klitemnestr в сообщении #615876 писал(а):

Предлагаю вашему вниманию вариант преобразования приведенного здесь уравнения $a^6+4b^3=c^2$, точнее, его варианта:
$(c-a^3)(c+a^3)=4b^3$

Вы что же, сами предложили, а сами не видите?

Далее

klitemnestr в сообщении #619070 писал(а):

Тогда: $a^3=\frac{4b^3-p^2}{2p}=\frac{4(2cdq)^3-(2q^2)^2}{4q^2}=\frac{4q^3[(2ac)^3-q]}{4q^2}=q[(2ac)^3-q]$

Было d, стало a?
Может быть так?
$a^3=\frac{4b^3-p^2}{2p}=\frac{4(2cdq)^3-(2q^2)^2}{4q^2}=\frac{4q^3[(2cd)^3-q]}{4q^2}=q[(2cd)^3-q]$

Ещё вопрос.
Почему

klitemnestr в сообщении #619070 писал(а):

$p=2q^2$

А если $p=2q$?
Объясните.

-- Сб сен 15, 2012 21:24:19 --

ishhan в сообщении #618879 писал(а):

Появятся ли у кого-нибудь свежие идеи, наделённые геометрическим смыслом?

Уважаемый ishhan! Полностью с Вами солидарен! Но, что мы можем предложить взамен тривиальных алгебраических преобразований? Похоже только такие же геометрические!
Сумма объемов двух кубов не равна третьему! Преобразуем:
Сумма площадей двух равнобедренных треугольников не равна площади третьего, если высоты являются натуральными числами, а основания, к которым опущены высоты - квадраты этих чисел. Это прорыв?