Вопрос про диффуры

[Unconnected]

Вроде должно быть очевидно, но я не пойму.



Почему $x=0$ не является решением? Вообще, что это за решение, ведь им должна быть функция - т.е. значения $y$ ? А если подставить $x=0$ в исходное, то будет $y=1$, что, в общем-то, подходит...

[ИСН]

Unconnected в сообщении #618695 писал(а):

Почему $x=0$ не является решением?

Потому что...

Unconnected в сообщении #618695 писал(а):

им должна быть функция

[Unconnected]

Тогда зачем это вообще написали? Слон тоже не будет являться решением уравнения.. Или, может, для того чтобы разделить области решений?

[ИСН]

Потому что на слона мы не делили - значит, он не мог быть потерян.

[gris]

В записи (3) $y$ является функцией $y(x)$, а в записи (2) и далее переменные формально равноправны и $x(y)=0$ является решением (2), но не (3).

[Unconnected]

А если такой пример: $\sqrt{y^2+1}dx=xydy$, тут $x=0$ является решением. Хотя он не функция. Это значит, что тут под $(x=0)$ подразумевается множество функций-решений $y$ (всех возможных), определённых в нуле?

[gris]

А кто Вам сказал, что не функция? ВОзможно, что это уравнение (с НУ) определяет некую кривую на плоскости.

[Unconnected]

Т.е. $x=0$ и может являться той самой $y(x)$, которая решение? А вот выше тов.ИСН писал, что $x=0$ не функция вовсе. И вроде так и есть, если от одной переменной.

[gris]

Решение $x=0$ годится как постоянная нулевая функция $x(y)$ в уравнении (2). Нотация и метод его решения предполагает равноправность переменных. Каждая может быть функцией другой.
Но в первоначальном уравнении видно, что независимой переменной является $x$, а $y$ — функцией. Поэтому $x=0$ это лишь значение переменной, а не функция, тождественно равная нулю.

[Unconnected]

Цитата:

Поэтому $x=0$ это лишь значение переменной, а не функция, тождественно равная нулю.

Тогда почему написано, что x=0 решение, если это не функция (любое решение - функция! $y(x)$! )?

[gris]

Слова "могут быть потеряны" относятся к уравнению (2), а "очевидно, что $x=0$ — нет" к уравнению (3)

[Unconnected]

Блин, что происходит
Решение ур-я I порядка (а именно такие мы проходим) это функция одной переменной, $y(x)$. Тогда зачем было писать, что $x=0$ не решение, если он по определению не решение, т.к. не функция от одной переменной?

[Someone]

Unconnected в сообщении #618790 писал(а):

А если такой пример: $\sqrt{y^2+1}dx=xydy$, тут $x=0$ является решением. Хотя он не функция.

Это уравнение само по себе не определяет, что является функцией, а что независимой переменной; поэтому решением может быть как $y=y(x)$ ($x$ - независимая переменная, $y$ - функция), так и $x=x(y)$ ($y$ - независимая переменная, $x$ - функция).
А по виду уравнения (3) сразу видно, что $x$ - независимая переменная, а $y$ - функция.

[Unconnected]

Цитата:

А по виду уравнения (3) сразу видно, что $x$ - независимая переменная, а $y$ - функция.

Тогда зачем они говорили, что независимая переменная $x=0$ - не решение, если она и не функция вовсе?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Не проще ли определять решение ДУ как его интегральную кривую?