Вопрос про диффуры

[ИСН]

Unconnected, перестаньте занимать свой ум этим ничтожным (я серьёзно) вопросом.

[Unconnected]

...и решением ДУ заодно, да и вставать на них рано...

[Someone]

Unconnected в сообщении #618880 писал(а):

Тогда зачем они говорили, что независимая переменная $x=0$ - не решение, если она и не функция вовсе?

Вероятно потому, что в процессе преобразований появлялось уравнение, для которого $x=0$ было решением. И теперь надо объяснить, почему это решение надо отбросить.

[Unconnected]

Мм, примерно понял.. спасибо!

[armez]

Вообще говоря, решением ДУ может быть зависимость, причём не обязательно функциональная. Если исходное уравнение записано в виде, содержащем производную $y'(x)$, то решением может быть только функция $y=y(x)$, заданная, быть может, неявно, но при этом должны выполняться необходимые условия существования неявной функции. Условие $x=const$ не задаёт никакой неявной функции $y$ от $x$, и решением уравнения, содержащего производную $y'(x)$, такая зависимость быть не может. Если же уравнение записано в виде $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, то его решением не обязана быть функция, причём как $y=y(x)$, так и $x=x(y)$, и для таких уравнений зависимости вида $y=const$ или $x=const$, в принципе, могут быть решениями, и это, вообще говоря, нужно проверять. В частности, при домножении обеих частей уравнения, содержащего $y'(x)$, на $dx$ могут появляться лишние решения вида $x=const$. Соответственно, при делении на $dx$ обеих частей уравнения вида $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ решения вида $x=const$ могут теряться.

[alcoholist]

armez в сообщении #620050 писал(а):

Если же уравнение записано в виде M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, то его решением не обязана быть функция, причём как y=y(x), так и x=x(y)

А если так: $xdx+ydy=0$... где тут функция?

-- Пн сен 17, 2012 14:49:36 --

Есть понятие "интеграл д.y"

[armez]

alcoholist, вот я и написал - "не обязана".

Цитата:

Есть понятие "интеграл д.y"

Точнее - общий интеграл, но начнём с того, что есть понятие "решение". Речь шла об этом.

[alcoholist]

armez в сообщении #620070 писал(а):

начнём с того, что есть понятие "решение"

вот каково общее решение уравнения $yy'+x=0$?

каково решение задачи Коши с $y(0)=1$

[armez]

Решение (или, частное решение) и общее решение - разные вещи. Речь шла о том, что может являться (частным) решением.

[alcoholist]

armez в сообщении #620093 писал(а):

Речь шла о том, что может являться (частным) решением

хоть какое-то определите и укажите в приведенном мною примере

[armez]

Частное решение (т.е. решение задачи Коши) - $y(x)=\sqrt{1-x^2}$.