Какова подматрица положительно определенной матрицы?

[wl2776]

Здравствуйте.
Дана симметричная положительно определенная матрица
$$ L = \begin{pmatrix} l_1_1 & \cdots & l_i_j & \cdots \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ l_j_i & \cdots & l_i_i & \cdots \\ \vdots & \cdots & \cdots & L_u \end{pmatrix}
Здесь $L_u$ - правый нижний угол $L$, ясно, что она симметричная.

Является ли матрица $L_u$ положительно определенной?

У меня в искусственно сгенерированных примерах - да, а в рабочей задаче - нет.
Т.е., если я генерирую матрицу случайных чисел, а потом умножаю ее на себя транспонированную, чтобы получить положительно определенную симметричную матрицу, то собственные числа подматриц этой матрицы все положительные.

Если беру подматрицу из рабочей задачи (над :) матрицы нет), ее собственные числа получаются с разными знаками.
Хочу разобраться, это у меня ошибка, или такое тоже бывает.

Спасибо.

[ИСН]

Э... критерий Сильвестра нам кагбе намекает, что деваться-то в общем некуда. Миноры подматрицы находятся среди миноров матрицы, нет?

[wl2776]

Увы, не намекает. Он про левые верхние углы исходной матрицы, а у меня - правый нижний.

Т.е., к примеру, вот такой матлабный код

Ae = rand(100) - rand(100);
Ae = Ae' * Ae;

генерирует симметричную положительно определенную матрицу.

Критерий Сильвестра про Ae(1:2, 1:2),..., Ae (1:50, 1:50),...

У меня же вопрос про Ae(50:end, 50:end).
В моем примере eig(Ae(50:end, 50:end)) выдает все положительные числа.

Или все же намекает, но я забыл линейную алгебру, и поэтому намеков не понимаю?

[nnosipov]

Любой главный минор (а не только тот, который растёт из левого верхнего угла) положительно определённой симметричной матрицы положителен --- это медицинский факт.

[wl2776]

Все понятно, спасибо.

[g______d]

Доказать можно так: пусть $P$ --- проектор на линейную оболочку нескольких векторов из стандартного базиса. Тогда подматрица --- это $PLP$ (суженная на эту линейную оболочку). Если $L> 0$, то $L=AA^T$ для некоторой вещественной невырожденной матрицы $A$. Отсюда $PLP=(PA)(PA)^T$, а любая матрица вида $BB^T$ для вещественной $B$ (не обязательно квадратной) является неотрицательной. Чтобы доказать положительность, заметим, что

$$ \mathrm{Ker}\, BB^T=\mathrm{Ker}\,B^T=\mathrm{Ker}\,A^T P=\mathrm{Ker}\,P, $$

т. к. $A^T$ невырождена.

[мат-ламер]

У меня эта задача вызвала исключительно геометрические ассоциации. Т.е. представил себе положительную определённую (в данном случае квадратическую) функцию (положит. опр. - положительна кроме нуля). Ясно, что ограничение этой функции на любое подпространство (в частности, полученное отбрасыванием каких-то координат) тоже будет полож. определённая функция.
Извините, что пишу в тему, где вопрос давно закрыт. Просто это сообщение появилось тут исключительно в связи со следующей темой http://dxdy.ru/topic61942.html.

[Евгений Машеров]

А ещё можно рассмотреть квадратичную форму $x^TAx$ и вспмомнить, что собственные значения это экстремальные значения квадратичной формы. И очевидно, что если минимум формы>0, то дополнительные ограничения вида $x_i=0$ не дадут меньшего значения.

[Munin]

g______d
Как красиво!

[ewert]

wl2776 в сообщении #617871 писал(а):

Является ли матрица $L_u$ положительно определенной?

А что такое положительно определённая матрица ваще?...

Это по определению та, квадратичная форма которой в соотв. смысле строго положительна.

И если она строго положительна ваще -- с какой стати ей не быть строго положительной в частности?...