2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение12.09.2012, 15:04 
Здравствуйте.
Дана симметричная положительно определенная матрица
$$
L = \begin{pmatrix}
 l_1_1 & \cdots & l_i_j &  \cdots \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
 l_j_i & \cdots & l_i_i & \cdots \\
\vdots & \cdots & \cdots & L_u
\end{pmatrix}
Здесь $L_u$ - правый нижний угол $L$, ясно, что она симметричная.

Является ли матрица $L_u$ положительно определенной?

У меня в искусственно сгенерированных примерах - да, а в рабочей задаче - нет.
Т.е., если я генерирую матрицу случайных чисел, а потом умножаю ее на себя транспонированную, чтобы получить положительно определенную симметричную матрицу, то собственные числа подматриц этой матрицы все положительные.

Если беру подматрицу из рабочей задачи (над :) матрицы нет), ее собственные числа получаются с разными знаками.
Хочу разобраться, это у меня ошибка, или такое тоже бывает.

Спасибо.

 
 
 
 Re: Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение12.09.2012, 15:25 
Аватара пользователя
Э... критерий Сильвестра нам кагбе намекает, что деваться-то в общем некуда. Миноры подматрицы находятся среди миноров матрицы, нет?

 
 
 
 Re: Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение12.09.2012, 15:36 
Увы, не намекает. Он про левые верхние углы исходной матрицы, а у меня - правый нижний.

Т.е., к примеру, вот такой матлабный код
Код:
Ae = rand(100) - rand(100);
Ae = Ae' * Ae;

генерирует симметричную положительно определенную матрицу.

Критерий Сильвестра про Ae(1:2, 1:2),..., Ae (1:50, 1:50),...

У меня же вопрос про Ae(50:end, 50:end).
В моем примере eig(Ae(50:end, 50:end)) выдает все положительные числа.

Или все же намекает, но я забыл линейную алгебру, и поэтому намеков не понимаю?

 
 
 
 Re: Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение12.09.2012, 15:50 
Любой главный минор (а не только тот, который растёт из левого верхнего угла) положительно определённой симметричной матрицы положителен --- это медицинский факт.

 
 
 
 Re: Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение12.09.2012, 15:54 
Все понятно, спасибо.

 
 
 
 Re: Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение12.09.2012, 17:08 
Аватара пользователя
Доказать можно так: пусть $P$ --- проектор на линейную оболочку нескольких векторов из стандартного базиса. Тогда подматрица --- это $PLP$ (суженная на эту линейную оболочку). Если $L> 0$, то $L=AA^T$ для некоторой вещественной невырожденной матрицы $A$. Отсюда $PLP=(PA)(PA)^T$, а любая матрица вида $BB^T$ для вещественной $B$ (не обязательно квадратной) является неотрицательной. Чтобы доказать положительность, заметим, что
$$
\mathrm{Ker}\, BB^T=\mathrm{Ker}\,B^T=\mathrm{Ker}\,A^T P=\mathrm{Ker}\,P,
$$
т. к. $A^T$ невырождена.

 
 
 
 Re: Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение12.09.2012, 19:57 
Аватара пользователя
У меня эта задача вызвала исключительно геометрические ассоциации. Т.е. представил себе положительную определённую (в данном случае квадратическую) функцию (положит. опр. - положительна кроме нуля). Ясно, что ограничение этой функции на любое подпространство (в частности, полученное отбрасыванием каких-то координат) тоже будет полож. определённая функция.
Извините, что пишу в тему, где вопрос давно закрыт. Просто это сообщение появилось тут исключительно в связи со следующей темой http://dxdy.ru/topic61942.html.

 
 
 
 Re: Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение12.09.2012, 20:50 
Аватара пользователя
А ещё можно рассмотреть квадратичную форму $x^TAx$ и вспмомнить, что собственные значения это экстремальные значения квадратичной формы. И очевидно, что если минимум формы>0, то дополнительные ограничения вида $x_i=0$ не дадут меньшего значения.

 
 
 
 Re: Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение12.09.2012, 21:42 
Аватара пользователя
g______d
Как красиво!

 
 
 
 Re: Какова подматрица положительно определенной матрицы?
Сообщение14.09.2012, 18:15 
wl2776 в сообщении #617871 писал(а):
Является ли матрица $L_u$ положительно определенной?

А что такое положительно определённая матрица ваще?...

Это по определению та, квадратичная форма которой в соотв. смысле строго положительна.

И если она строго положительна ваще -- с какой стати ей не быть строго положительной в частности?...

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group