Система подмножеств на прямой...

[Conquerant]

Дорогие друзья! Помогите, пожалуйста решить такую вот задачу. Про множество K известны такие условия:

$(1)$ $K$ - собственное подмножество множества всех конечных и счетных подмножеств $\mathbb{R}$,

$(2)$ $K$ содержит все конечные подмножества $\mathbb{R}$,

$(3)$ $k_1, k_2 \in K \Rightarrow k_1 \cup k_2 \in K$

$(4)$ $k_1 \subseteq k \in K \Rightarrow k_1 \in K$

Требуется доказать, что $\exists$ счетное (бесконечное) $S \subseteq \mathbb{R}$ такое, что
$k \in K$ и $k \subseteq S \Rightarrow k$ --- конечно.


(Или опровергнуть)

[Dandan]

ну я бы не сказал, что задача понятная абитуриенту. Я сам не сразу в суть въехал

Утверждение это не верно.
Пусть $H$ - все нечетные натуральные числа. Давайте рассмотрим набор подмножеств натуральных чисел, состоящий из множеств $H, 2H, 4H, ... , 2^m H, ... $ (эти множества попарно не пересекаются и в объединении дают все $\mathbb{N}$), а также всех конечных подмножеств натуральных чисел. Возьмем замыкание $X$ этого набора относительно операций 3) (объединения) и 4) (взятия подмножества). Очевидно, все подмножества $\mathbb{N}$ у нас не получатся. Теперь в качестве $K$ возьмем все конечные и счетные подмножества $M\subseteq\mathbb{R}$ такие, что $M\cap\mathbb{N} \in X$. Такое $K$ удовлетворяет условиям. Но при этом $S$ с таким хитрым свойством не существует.
Если в определении $K$ добавить, что бесконечное объединение подмножеств из $K$ должно принадлежать $K$, то тогда утверждение становится верным.

[Brukvalub]

Conquerant писал(а):

Дорогие друзья! Помогите, пожалуйста решить такую вот задачу. Про множество K известны такие условия: ... $(2)$ $K$ содержит все конечные подмножества $\mathbb{R}$,...

Dandan писал(а):

Такое $K$ удовлетворяет условиям.

А выполняется ли для Вашей конструкции свойство 2 ? Есть ощущение, что не выполняется. Например, входит ли в построенное Вами множество К одноточечное множество {0,5} ?

[Dandan]

\{1/2\}\cap\mathbb{N} = \emptyset \in X

[neo66]

Dandan писал(а):

Но при этом $S$ с таким хитрым свойством не существует.

Пусть в Вашей конструкции $S=${$1,2^2,\dots,2^n,\dots$}$\subseteq \mathbb{R}$. Мне кажется, оно удовлетворяет условию задачи.

[Dandan]

Да, действительно. В качестве S$ можно просто взять по представителю из $H, 2H, 4H, ... , 2^m H, ... $.
Надо додумывать.

Добавлено спустя 14 минут:

Первоначальную задачу можно свести к следующей:
доказать, что если мы в каждом бесконечном подмножестве натуральных чисел выберем некоторое бесконечное подмножество этого подмножества, то найдется конечное количество выбраных, которые в объединении дают всё \mathbb{N} (кроме конечного количества чисел)

[RIP]

Рассмотрим все не более чем счётные подмножества $\mathbb{R}$, имеющие конечное число предельных точек. Они образуют множество $K$, удовлетворяющее условиям (1)-(4). Попробуйте для него подобрать $S$.

[Dandan]

Да, а можно еще так. Выберем все такие подмножества $M$ натуральных чисел, что сумма

$$\sum_{n \in M}\frac1n$$

конечна. В качестве $K$ возьмем этот набор, все конечные подмножества $\mathbb{R}$ и все возможные конечные объединения этих подмножеств. Такого $S$ тут тоже не найдется.

[нг]

Dandan
Окружайте, пожалуйста, тегом [math] только формулы.

[Conquerant]

Отдельное спасибо Dandan, идея правильная! За выходные я додумался до решения. В Ваших словах, Dandan, я заметил отличную идею о том что нужно выделить только одно счетное подмножество(у Вас - множество нат чисел). Я тоже пошел по этому пути. Второе решение просто гениально!!! Я просто в восторге, насколько естественно условия 3 и 4 соответствуют специфике сходимости рядов.
Я придумал другое решение, но оно призывает на помощь понятия кольца, идеала и фактор-кольца и много сложнее, так что если хотите, я расскажу, не хотите не расскажу;)

Thank you very much)

[Dandan]

кстати, контрпример можно и без фокусов мат анализа построить. Давайте разобьем множество натуральных чисел на бесконечное число бесконечных множеств (например как во втором посте). Теперь просто берем все подмножества, которые с каждым множеством из разбиения имеют лишь конечное число общих элементов. Остальное понятно...